《数学分析》课程教学课件（讲稿）微积分学基本定理（一）

§5微积分学基本定理1

§5 微积分学基本定理1

一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是时 间间隔[T,T2]上t的一个连续函数，且v(t)≥0， 求物体在这段时间内所经过的路程 变速直线运动中路程为∫()山 另一方面这段路程可表示为s(T,)-s(T) )d=sT)-(T).其中s)=0

变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为  2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v  v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t)  0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T  s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T     其中 s(t)  v(t)

二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b]上连续，并且设x 为，b小上的一点，考察定积分 f(x)dx="f(t)dr 如果上限x在区间可，b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在，b]上定义了一个函数， 记Φ(x)=∫f()t. 积分上限函数

设函数 f (x)在区间[a,b] 上连续，并且设x 为[a,b]上的一点，  x a f (x)dx 考察定积分   x a f (t)dt 记 ( ) ( ) .    x a x f t dt 积分上限函数 如果上限x 在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数

积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在4，b上连续，则积分上限的函 数Φ(x)=∫f(t)t在a,b]上具有导数，且它的导 数是()=fh=fx) (a≤x≤b) 证(x+A)=∫+f)t △Φ=Φ(x+△x)-Φ(x) Φ(x) =fut-∫广fh

a b x y o 定理１ 如果f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( )  ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f ( x) dx d x x a     (a  x  b) 积分上限函数的性质 x  x 证 x x f t dt x x a  (   )  ( )   (x  x)  (x) f t dt f t dt x a x x a     ( ) ( ) (x) x

=f)t+∫ft-f)h =f), 由积分中值定理得 Φ(x) △Φ=f(5)△x5∈[x,x+△xl, 王王王王王 4Φ ()gm A imf5) △x→0,5→x.Φ'(x)=f(x) 回

 f t dt f t dt f t dt x a x x x x  a      ( ) ( ) ( ) ( ) ,    x x x f t dt 由积分中值定理得   f ( )x [x, x  x], x  0,  x f ( ), x    lim lim ( ) 0 0 f  x x x    (x)  f (x). a b x y o x  x (x) x

补充 如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F(e)=f)h的导数F(y)为 F)-=&foh=fbxbw)-farkg 证Fo)-(+/u)h =fu)t-∫fet, F(x)=B(x)](x)-fla(x)Ja'(x)

如果f (t)连续，a(x) 、b(x) 可导， 则F x f t dt b x a x  ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x)为 补充  f b(x)b(x)  f a(x)a(x) 证 F x  f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( )  0   f t dt b x   ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x   F(x)  f b(x)b(x)  f a(x)a(x)    ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x

r dt 例1 求im x0 x2 分析：这是。型不定式，应用洛必达法则， 解 ew=dm。 -e.(cosx)=sinx.ex [e-"dt lim -lim sinx.e-cosx 1 x-→0 x2 →0 2x 回

例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x    解   1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2     x t e dt dx d (cos ) 2 cos      e x x sin , 2 cos x x e    2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x    x x e x x 2 sin lim 2 cos 0     . 2 1 e  0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则

例2设f(x)在(-o,+o)内连续，且f(x)>0. 证明函数F(x)= d 在(0，+∞)内为单调增 f(d 加函数 证 u恤=公Ifeh= FN=fi-ffe (rd) 上页页

例 2 设 f (x)在(,)内连续，且 f (x)  0. 证明函数    x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,)内为单调增 加函数. 证  x tf t dt dx d 0 ( )  xf (x),  x f t dt dx d 0 ( )  f (x),   2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x

-foo-of roa) f(x)>0,(x>0) f)t>0, (x-)f()>0,(x-)ft)t>0 ∴.F'(x)>0(x>0). 故F(x)在(0，+o)内为单调增加函数 上页 回

  , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0      x x f t dt f x x t f t dt F x  f (x)  0, (x  0) ( ) 0, 0   x f t dt (x  t) f (t)  0, ( ) ( ) 0, 0    x x t f t dt F(x)  0 (x  0). 故F(x)在(0,)内为单调增加函数

例3 设f(x)在[0,1上连续，且f(x)0, F(x)在0,1川上为单调增加函数.F(0)=-10, 所以F(x)=0即原方程在0,1山上只有一个解

例 3 设 f (x)在[0,1]上连续，且 f (x)  1.证明 2 ( ) 1 0 x   f t dt  x 在[0,1]上只有一个解. 证 ( ) 2 ( ) 1, 0     F x x f t dt x  f (x)  1, F(x)  2  f (x)  0, F( x)在[0,1]上为单调增加函数. F(0)  1  0,    1 0 F(1) 1 f (t)dt    1 0 [1 f (t)]dt  0, 所以F(x)  0即原方程在[0,1]上只有一个解. 令