《数学分析》课程教学课件（讲稿）收敛定理的证明

§3收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理，为此 先证明两个预备定理， 预备定理1（贝塞尔Bessel)不等式）若函数f在 【一，可积，则 g-+sf地 (1) 其中an,b为f的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不等 式。 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §3 收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理,为此 先证明两个预备定理. 预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 [ , ]   可积, 则         2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) ( )d . (1) 2 π n n n a a b f x x 其中 a b n n , 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不等 式

证令 S(x)(d cosnx+bsimnme) m 2 n=1 考察积分 【f(e)-Snme'd =∫f产(x)dc-2jfx)Sne)dc+∫S品e)d.(2) 由于 fSdc-2∫f 前页 后页 返回

前页 后页 返回 证 令 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx      考察积分    π 2 π [ ( ) ( )] d m f x S x x π π π 2 2 π π π ( )d 2 ( ) ( )d ( )d . (2) m m f x x f x S x x S x x          π π 0 π π ( ) ( )d ( )d 2 m a f x S x x f x x      由于

+(a(cosnvdx+bw)sinnvd) 根据傅里叶系数公式（§1(10）)可得 [xs.6ad-登c+空a+ (3) 对于S(x)的积分.应用三角函数的正交性，有 ∫s2(ae)dx -j没+2 n.eme么sn树 dx 前页 后页 返回

前页 后页 返回 π π π π 1 ( ( )cos d ( )sin d ), m n n n a f x nx x b f x nx x         根据傅里叶系数公式(§1(10))可得        π 2 2 2 0 π 1 π ( ) ( )d π ( ). (3) 2 m m n n n f x S x x a a b 对于 2 ( ) S x m 的积分.应用三角函数的正交性, 有  π 2 π S x x m ( )d              2 π 0 π 1 ( cos sin ) d 2 m n n n a a nx b nx x

jr+含c nt-snat +元2(+ (4) 2 n=l 将3)，(4)代入(2)，可得 0≤∫Lfx)-Sme)'d =fwg空d =1 因而 前页 后页 返回

前页 后页 返回                        2 2 π π π 0 2 2 2 2 π π π 1 d cos d sin d 2 m n n n a x a nx x b nx x 2 0 2 2 1 π π ( ). (4) 2 m n n n a a b      将(3), (4)代入(2)，可得     π 2 π 0 [ ( ) ( )] d m f x S x x         2 π 2 2 2 0 π 1 π ( )d π ( ). 2 m n n n a f x x a b 因而

至+空d+swra 它对任何正整数m成立.而，f)dc为有限值， 所以正项级数 ++ n=l 的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式()成立. 前页 后页 返回

前页 后页 返回        2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) [ ( )] d , 2 π m n n n a a b f x x 它对任何正整数m成立. 而  π 2 π 1 [ ( )] d π f x x 为有限值, 所以正项级数 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b      的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立

推论1若f为可积函数，则 im)c0, (5) lim ["f(x)sinnxdx=0, 因为(1)的左边级数收敛，所以当n→∞.时，通项 ☑+b→0，亦即有an→0与bn→0，这就是（⑤）式， 这个推论称为黎曼-一勒贝格定理. 推论2若f为可积函数，则 前页 后页 返回

前页 后页 返回 推论1 若f为可积函数, 则 π π π -π lim ( )cos d 0, (5) lim ( )sin d 0, n n f x nx x f x nx x             因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n   .时, 通项 2 2 0 n n a b   0 n a  0 n , 亦即有 与 b  , 这就是(5)式, 这个推论称为黎曼-勒贝格定理. 推论2 若 f 为可积函数, 则

fsma+2》a=0 (6) imind0 证由于 sa+小e=o sinm+in 2 所以 fi 前页 后页 返回

前页 后页 返回                            π 0 π π 1 lim ( )sin d 0, 2 (6) 1 lim ( )sin d 0, 2 n n f x n x x f x n x x 1 sin cos sin sin cos , 2 2 2 x x n x nx nx                  π 0 1 ( )sin d 2 f x n x x 证 由于 所以

innde )sincs "F(x)sinnxdx+F(x)cosnxdx, (7) 其中 F(x)= 0c0≤x≤元 0, ,-π≤x<0, F5e=fw)sini0≤xs元 0, ,-元≤X<0, 前页 后页 返回

前页 后页 返回                 π π 0 0 ( )cos sin d ( )sin cos d 2 2 x x f x nx x f x nx x π π 1 2 π 0 F x nx x F x nx x ( )sin d ( )cos d , (7)                 1 ( )cos ,0 π, ( ) 2 0, , π 0, x f x x F x x            2 ( )sin ,0 π, ( ) 2 0, , π 0, x f x x F x x 其中

显见F与F,和f一样在[-π，上可积.由推论1，(T) 式右端两项积分的极限在→o时都等于零.所以 左边的极限为零 同样可以证明 ()sinsue-0. 预备定理2若f是以2π为周期的函数，且在【-π，π] 上可积，则它的傅里叶级数部分和S(x)可写成 前页 后页 返回

前页 后页 返回 式右端两项积分的极限在 n   时都等于零. 所以 左边的极限为零. 同样可以证明            0 π 1 lim ( )sin d 0. n 2 f x n x x 预备定理2 若 f 是以2π为周期的函数, 且在 [ , ]   上可积, 则它的傅里叶级数部分和 ( ) S x n 可写成 显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7) F1 F2 [ , ]  

sf 2 dt, (8) 2si02 当t=0时，被积函数中的不定式由极限 sin 2 lim =n+ t→0 2 2sin 2 来确定 前页 后页 返回

前页 后页 返回           π π 1 sin 1 2 ( )= ( ) d , (8) π 2sin 2 n n t S x f x t t t 当 t = 0时, 被积函数中的不定式由极限           0 1 sin 2 1 lim 2 2sin 2 t n t n t 来确定