《数学分析》课程教学课件（讲稿）不定积（习题课）

第八章不定积分习题课

第八章 不定积分习题课

一、主要内容 原函数 不定积分 选择有效方法 分部 直接 积分法 积分法 积分法 第一换元法 几种特殊类型 基本积分表 第二换元法 函数的积分 上页

积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容

1、原函数 定义如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为 f(x),即x∈I,都有F'(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dk,那么函数F(x)就称为f(x)或 f(x)x在区间I内原函数. 原函数存在定理如果函数f(x)在区间I内连续，那 么在区间I内存在可导函数F(x),使Vx∈I,都有 F'(x)=f(x). 即：连续函数一定有原函数 上页 回

1、原函数 如果在区间I 内，可导函数F( x)的导函数为 f ( x) ， 即 x  I ， 都 有 F(x)  f (x) 或 dF( x)  f ( x)d x ，那么函数F( x)就称为 f ( x)或 f ( x)d x在区间I 内原函数. 定义 原函数存在定理 如果函数f (x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F( x)， 使x  I ，都有 F(x)  f (x). 即：连续函数一定有原函数．

2、不定积分 (山)定义 在区间内，函数f(x)的带有任意常数项 的原函数称为f(x)在区间内的不定积分，记 为f(x)k. f(x)dc=F(x)+C 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

2、不定积分 (1) 定义 在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx．  f (x)dx  F(x)  C 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线

(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的. &0fxa=f dl f(x)dx]=f(x)dx ∫F'(x)dc=F(x)+C ∫dF(x)=F(x)+C (3)不定积分的性质 1° ∫f)±gx=∫fx)d±∫g(x)de 2°∫(x)=∫f(x)(k是常数，k≠0)

 1 [ f (x)  g(x)]dx  0   f (x)dx  g(x)dx (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.  2 kf (x)dx  0  k f (x)dx（k是常数，k  0) (3) 不定积分的性质  f (x)dx f (x) dx d   d[ f (x)dx]  f (x)dx   F(x)dx  F(x)  C  dF(x)  F(x)  C

3、基本积分表 (1) [k=x+C(k是常数)（⑦）∫sinxdx=-cosx+C j=+cu-小h=nr4C (2 o可-foe=-etr+d (10)[secxtanxdx=secx+C (5) ∫x=asnx+C (11)[esexcotxde=-csex+C (6)∫cosxdx-sinx+C (12)∫edc=e*+C

3、基本积分表 (1)  kdx  kx  C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1            C x x dx   x  C x dx (3) ln    dx x 2 1 1 (4) arctan x C    dx x 2 1 1 (5) arcsin x  C (6)  cos xdx  sin x  C (7)  sin xdx   cos x  C  (10) sec x tan xdx  sec x  C  (11) csc x cot xdx   csc x  C  e dx  x (12) e C x    x dx 2 cos (8)  xdx  2 sec tan x C   x dx 2 sin (9)  xdx  2 csc  cot x C

(13) ∫ak= ma'C 14 ∫shxdx=chr+C -1I*-a+C (15) chxdx shx+C 2a x+a (16) ∫tanxd=-Incosx+C (22) ∫n -1ma+x+C 2 一X (17) 「cotxdx=:Insinx+C (18) [sec xdx =In(secx+tanx)+C (19 )fese=I(cscx-cot)+C =ln(x+/x2±a2)+C

 a dx  x (13) C a a x  ln  (16) tan xdx  lncos x C  (17) cot xdx  lnsin x C  (18) sec xdx  ln(sec x  tan x) C  (19) csc xdx  ln(csc x  cot x) C C a x a dx a x     arctan 1 1 (20) 2 2 C a x a x a dx a x       ln 2 1 1 (22) 2 2 C a x dx a x     arcsin 1 (23) 2 2 x x a C dx x a       ln( ) 1 (24) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a       ln 2 1 1 (21) 2 2 x C  (14) shxdx  ch xdx  x C  (15) ch sh

4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法. 5、第一类换元法 定理1设f(u)具有原函数，u=p(x)可导， 则有换元公式 ∫f八p(x)p'(x)dk=f(m)dl-pg 第一类换元公式（凑微分法）

5、第一类换元法 4、直接积分法 定理 1 设 f (u)具有原函数，u  ( x)可导， 则有换元公式  f[(x)](x)dx    ( ) [ ( ) ] u x f u du  第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法

常见类型： 1.fx+)x"d; 2. dx; 3.f(nx)dx; 4 dx; 5.f(sinx)cos xdc; 6.f(a)a; 7.f(tanx)secxd (arctanx)d 1+2 上页 回

1. ( ) ; 1 f x x dx n n ; ( ) 2. dx x f x ; (ln ) 3. dx x f x ; ) 1 ( 4. 2 dx x x f 5. f (sin x)cos xdx; 6. f (a )a dx; x x 常见类型: 7. (tan )sec ; 2 f x xdx ; 1 (arctan ) 8. 2 dx x f x 

6、第二类换元法 定理 设x=W(t)是单调的、可导的函数，并 且w'(t)≠0，又设f[w(t)w'(t)具有原函数， 则有换元公式 ∫ 第二类换元公式 其中yw(x)是x=w(t)的反函数 上页

6、第二类换元法 定理 设x (t)是单调的、可导的函数，并 且 (t)  0，又设 f [ (t)] (t)具有原函数， 则有换元公式   ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt         其中(x)是x  (t)的反函数. 第二类换元公式