《数学分析》课程教学课件（讲稿）一致收敛函数列与函数项级数的性质

§2一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要， 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要. 返回

定理13.8（极限交换定理）设函数列{f}在 (a,x)U(K,b)上一致收敛于f(x),且对每个n, lim f(x)=an,则lima,和imf(x)均存在且相等.即 x→X0 00 lim limf (x)=lim limf(x). () x-→x0n-→0 证先证{an}是收敛数列.对任意e>0,由于{fn}一 致收敛，故存在正整数N,当>N及任意正整数p, 对一切x∈(a,x)U(x,b)有 If(x)-f(x)Ks. 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 { }n f 在 0 0 ( , ) ( , ) a x x b 上一致收敛于 f x( ) , 且对每个 n, 0 lim ( ) , n n x x f x a   lim n n 则 和a  0 lim ( ) . x x f x  均存在且相等 即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ). (1) n n x x n n x x f x f x      { }n a   0 { }n 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 f 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 0 0 x a x x b ( , ) ( , ) 有 | ( ) ( ) | . n n p f x f x    

从而|an-an+p上lim|fn(x)-fn+p(x)lse. x→X0 于是由柯西准则可知{an}是收敛数列，设iman=A, 即lim limf(x)=A, n-→00x->x0 下面证明limf(x)=lim limf(x)=A. r->x x→xn->0 注意到 If(x)-A川 sf(x)-f(x)+(x)-aN+aN-Al 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 从而 0 | | lim | ( ) ( ) | . n n p n n p x x a a f x f x         { }n a  lim , n  n 于是由柯西准则可知 是收敛数列, 设 a A 即 0 lim lim ( ) , n n x x f x A    下面证明 0 0 lim ( ) lim lim ( ) . n x x x x n f x f x A      注意到 | ( ) | f x A 1 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N       f x f x f x a a A     只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可

If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-aN+laN-Al 由于f（x)一致收敛于f(x),an收敛于A,因此对任 意e>0,存在正数N,当n>N时，对任意x∈(a,x) U(x,b),有 1x)-水号和1a,-A水号 同时成立.特别当n=N+1时，有 1)-水号利aA水号 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 由于 f x n ( ) 一致收敛于 f x( ) ， an 收敛于 A , 因此对任 | ( ) ( ) | | | 3 3 n n f x f x a A       和 同时成立. 特别当 n N  1 时, 有 ( , ) x b 0 , 有 意  0 , 存在正数 , 当 n N 时, 对任意 0 N x a x ( , )            1 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N f x A f x f x f x a a A | ( ) ( ) | | |   1 1     3 3 N N f x f x a A   和

If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-aN+aN1-Al 又因为limf1(x)=aw1,故存在6>0，当 0x-,K8时，也有1f,()-ank写 这样，当x满足0<x-x<6时， If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-aN+l 这就证明了imf(x)=A. 前页 后页 返回

前页 后页 返回     0 1 1 lim ( ) , N N x x 又因为 f x a 故存在   0 , 当 0 0 | |    x x  时,也有 1 1 | ( ) | . 3 N N f x a      0 这样 当 满足 时 , 0 , x x x             1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | N N N f x A f x f x f x a       1 | | , 333 N a A              1 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N f x A f x f x f x a a A 这就证明了   0 lim ( ) . x x f x A

定理指出：在一致收敛的条件下，{f(x)}中关于独 立变量x与n的极限可以交换次序，即(1)式成立. 类似地，若f(x)在(a,b)上一致收敛，且imfn(x) 存在，则有lim limf(x)=limlim f.((x)； x->a+n-oo n-→o0xa 若f,(x)在(a,b)上一致收敛，且imf(x)存在，则有 lim limf (x)=lim limf (x). x-→bn-→0 1>00xb 前页

前页 后页 返回 定理指出: 在一致收敛的条件下, { ( )} n f x 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. , ( ) ( , ) n 类似地 若 在 f x a b lim ( ) n x a f x 上一致收敛   , 且 存在, 则有       lim lim ( ) lim lim ( ); n n  x a x a n n f x f x ( ) ( , ) lim ( ) , n n x b 若 f x a b f x 在 上一致收敛,且  存在 则有        lim lim ( ) lim lim ( ). n n  x b x b n n f x f x

定理13.9（连续性）若函数列{f}在区间I上一致收 敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续 证设x,为I上任一点.由于limf,(x)=fn(x),于 是由定理13.8知imf(x)也存在，且 lim f(x)=lim f (xo)=f(xo), x→X0 因此f(x)在x。上连续， 定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数 列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区 间I上一定不一致收敛 前页

前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 { }n f 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证   0 0 0 . lim ( ) ( ), n n x x 设 为 上任一点 由于 x I f x f x 于 是由定理 13.8 知 0 lim ( ) x x f x  也存在, 且     0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ), n x x n f x f x f x 0 因此 在 上连续 f x x ( ) . 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛

例如：函数列{x”}的各项在(-1,1上都是连续的，但 0,-1<x<1, 其极限函数)- 在x=1时不连 续，所以{x"}在(-1,1)上不一致收敛 前页 后页 返回

前页 后页 返回 { }n 例如: 函数列 x 的各项在 ( 1, 1]  上都是连续的, 但 其极限函数 0, 1 1, ( ) 1, 1 x f x x         在 x  1时不连 { }n 续, 所以 x 在 ( 1, 1]  上不一致收敛

定理13.10（可积性）若函数列{f}在[4，b]上一致收 敛，且每一项都连续，则 limdxm dv. (3) 证设f为函数列{fn}在[a,b上的极限函数.由定理 13.9知f在[a,b]上连续，从而fn(n=1,2,)与f在 [4,b]上都可积.于是3)变为 imdxf)dx. (3) 前页 后页 返回

前页 后页 返回 { }n 证 设 f 为函数列 f 在 [ , ] a b 上的极限函数. 由定理 [ , ] a b ( 1,2, ) n 13.9知 f 在 上连续, 从而 f n  与 f 在 [ , ] a b 上都可积. 于是(3)变为 lim ( ) d ( ) d . (3 ) b b n n a a f x x f x x     { }n 定理13.10 (可积性) 若函数列 f 在 [ , ] a b 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则 lim ( ) d lim ( ) d . (3) b b n n n n a a f x x f x x     

因为在[4，b上f一致收敛于f,故对于任意e>0, 存在N,当n>N时，对一切x∈[a,b,都有 If(x)-f(x)s. 再根据定积分的性质，当n>N时有 f)-心fw)d=心f.)-f)d ≤(x)-f(xdc≤e(b-a), 这就证明了等式(3'). 这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与 积分运算的顺序可以交换. 前页 返回

前页 后页 返回       ( ) ( ) d ( ( ) ( )) d b b b n n a a a f x f x x f x f x x ( ) ( ) d ( ), b n a     f x f x x b a   这就证明了等式 (3 ).  这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换. [ , ] , n 因为在 上 一致收敛于 a b f f 故对于任意   0 , 存在 N n N x a b , , [ , ], 当 时 对一切 都有   | ( ) ( ) | . n f x f x    再根据定积分的性质, 当 n N 时有