《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算

第三章矩阵的运算 Ch3 矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 。§3,4分块矩阵

第三章 矩阵的运算 Ch3 矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.4分块矩阵 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵

第三章矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 矩阵加法 三 矩阵的数乘 矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶距阵的行列式 六、共轭矩阵

第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 一、矩阵加法 四、矩阵转置 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 五、n阶距阵的行列式 六、共轭矩阵

第三章矩阵的运算 同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵 矩阵相等 A=(a,)mxn,B=(b,)mn,且4与=b,→A=B 一、矩阵加法 (i=1,m5j=1,.,m） 定义3.1.1设矩阵A=(a,)mxn,B=(b)mxn’称矩阵 C=(ai+bi)mxn 为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B. 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵记作：O 设矩阵A=(a,)mxn’称矩阵-(a)mxn为A的负矩阵， 记作-A,即-A=-(a)mxn

第三章 矩阵的运算 矩阵相等 一、矩阵加法 ( ) , ( ) ( ) 3.1.1 . ij m n ij m n ij ij m n A a B b C a b A B C A B    = = = + = + 设矩阵 ，称矩阵 和 为矩阵 与矩阵 的 ，记作 定义 同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵. 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵.记作: O. ( ) ( ) ( ) . ij m n ij m n ij m n A a a A A A a    = − − − = − 设矩阵 ，称矩阵 为 的 ， 记作 ，即 负矩阵 ( ) , ( ) , ( 1, , ; 1, , ) A a B b a b A B ij m n ij m n ij ij i m j n = = =  =   = = 且

第三章矩阵的运算 矩阵加法的性质：A,B,C,O均为m×n矩阵 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.A+0=0+A=A 4.A+(-A)=(-A)+A=O 5.矩阵减法可定义为 A-B=A+(-B)=(ai=bi)mxn

第三章 矩阵的运算 矩阵加法的性质： A,B,C,O均为mn矩阵 1. A+ B = B + A 2. (A+ B) +C = A+ (B +C) 3. A+O = O + A = A 4. A+ (−A) = (−A)+ A = O 5. ( ) ( ) A B A B a b − = + − = −ij ij m n 矩阵 可定义为 减法

第三章矩阵的运算 例1求矩阵X,使得 23 -1 0 -1 2 3 2 2 +X= 3 0 -1 -1 0 -1 2 -2 0 解： 0 -1 2 3 2 -1 X= 3 -1 2 2 1 -2 0 -1 0 -1 1 -3 2

第三章 矩阵的运算 1 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 X X     − −     + = −             − − − 例 求矩阵 ，使得 解： 0 1 2 3 1 2 3 1 3 0 1 1 2 0 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 X     − −     = − −             − − − 1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1   − − −   = −       −

第三章矩阵的运算 二、矩阵的数乘 定义3.1.2设矩阵A=(a)mxn, 2是一个数，矩阵 ()mxn称为数2与矩阵A的乘积，记作入A或A几， 即 入A=A久=(2a时)mxn 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的

第三章 矩阵的运算 二、矩阵的数乘 ( ) , , ( ) ( ) 3.1.2 ij m n ij m n ij m n A a a A A A A a A            = = = 数 设矩阵 是一个数 矩阵 称为 记作 或 ， 即 与矩阵 ， 定 的乘积 义 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的

第三章矩阵的运算 数乘的性质：设A,B是m×矩阵，是数， 1.九（山A)=()A 2.(九+)A=入A+山A 3.(A+B)=几A+B 4. 14-A 5. 0A=0 6. (-1)A=-A

第三章 矩阵的运算 数乘的性质： 2. ( )     + = + A A A 设A B m n ， 是  矩阵， , 是数， 3. ( )    A B A B + = + 1. ( ) ( )    A A = 4. 1A A = 5. 0A O= 6. ( 1) − = − A A

第三章矩阵的运算 例设A :斗a[ 日24-+ c- 解： 1c= 「4-1-1 0+1+2 -2-0+1 2A-B+ 3 2+2+44-3-2-4-1+3 3-1 8-1-2

第三章 矩阵的运算 2 0 1 1 1 0 2 , , 1 2 2 2 3 1 3 6 3 1 2 . 12 6 9 3 A B C A B C     − − = =         − −   − = − +     − 例 设 ,求 1 4 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 2 2 4 4 3 2 4 1 3 A B C   − − + + − − + − + =     + + − − − − + 2 3 1 8 1 2   − =     − − 解：

第三章矩阵的运算 三、矩阵的乘法 1.线性变换 设变量1,2，.ym能用变量1，x2,.,xn线性表示，即： Jy1=0111+012X2+.+41mXn3 Jy2=021X1+222+.+42mXn, Jym=Lm1X1+0m2X2+.+0mnn’ 其中系数a(i=1,2,.,m,j=1,2,.,m)为常数这种从 变量x1,X2,.,x到变量y1,2,.ym的变换叫做线性变换

第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , ( 1,2, , , 1,2, , ) . , , , , , m n n n n n m m m mn n ij n m y y y x x x y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x a i m j n x x x y y y  = + ++  = + ++    = + ++  = = 设变量 能用 变量 线 性表示，即： 其中系数 为常数 这种从 变量 到变量 的变换叫做线性变换. 三、矩阵的乘法 1.线性变换

第三章矩阵的运算 12 此线性变换的系数构成的mx矩阵为 l22 。 0m2 称为线性变换的系数矩阵， 设两个线性变换 y1=%11X1+412X2+413X3, (3-10 、y2=21X1+22X2+423X3) x1=b4+b122, X2=b2141+b22t2y (3-2) x3=b3141+b32t2

第三章 矩阵的运算 11 12 1 21 22 2 1 2 . . n n m m mn a a a a a a m n a a a              此线性变换的系数构成的 矩阵为 称为线性变换的系数矩阵 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , (3 1) , , , (3 2) , y a x a x a x y a x a x a x x b t b t x b t b t x b t b t  = + +  − = + +   = +   = + −  = +  设两个线性变换