《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）第一章_1.4行列式的应用-克拉默法则

章行列式 §1.4克拉默法则 一、克拉默法则 二、 重要定理 三、小结思考题

第一章 行列式 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 克拉默法则 011x1+012X2+.+41nXn=b 设线性方程组 21x1+22火2+.+02mXn=b2 (1) anx+an2x2++amxn=b 若常数项，b2,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式 方程组()可简写为 ∑y水，=bi=1,2,n i= 由线性方程组)的系数构成的行列式 au n D L21 L22 02 称为方程组)的系数行列式

第一章 行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式. 1 1,2, , n ij j i j a x b i n =  = = 方程组(1)可简写为

第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式D≠0那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D x1= D ,x3= D ,.,xn= 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 a1.,j-lb4,+1.01m

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式 证明：1、存在性 D.=bAu++bdo=2b.dy 1 纪x=号代入第12个方程，得 -8=这2 =226a4=6220,-b6D=4 i= 故y-号是方程组的解

第一章 行列式 证明： 1、存在性 1 1 2 2 1 n j j j n nj s sj s D b A b A b A b A = = + + + =  把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 D D x j j = i i n s n j s i j s j n j n s s i j i j n j n s i j s s j n j j i j n j i j j b D b D b a A D b a A D a b A D D D a x a = = = =         = =        = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故 是方程组的解. D D x j j =

第一章行列式 2、唯一性 设(c1,C2,Cn)是方程组的一个解，则 24g=4=12州 As∑0,9，=64k(i=1,2,.,m) 左相咖如立20,22445-224=6D 右端相加 ∑b,A&=D,从而cD=DE i-1 D, 得 Cr= 所以方程组有唯一解

第一章 行列式 2、唯一性 设(c1 ,c2 ,.,cn )是方程组的一个解，则 1 ( 1,2, , ) n ij j i j a c b i n =  = = 1 ( 1,2, , ) n ik ij j i ik j A a c b A i n =  = = A a c A a c c a A ck D n j n i j i j i k n i n j i k i j j n i n j  i k i j j =  =   = =1 =1 =1 =1 =1 =1 , 1 k n i bi Ai k = D = D D c k 得 k = 所以方程组有唯一解。 左端相加 右端相加 从而ckD=Dk

第一章行列式 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系 数及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价 值. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的 个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组. 由命题的等价性可得到如下的推论 结论如果线性方程组(1)无解或有两个不同解， 则它的系数行列式必为零

第一章 行列式 结论 如果线性方程组 无解或有两个不同解， 则它的系数行列式必为零. (1) 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系 数及常数项之间的关系式,因此具有重要的理论价 值. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的 个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组. 由命题的等价性可得到如下的推论

第一章行列式 例1用克拉默则解方程组 2x1+x2-5x3+x4=8, 1-3x2-6x4=9, 2x2-x3+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1-51 0 7 -5 13 1 -3 0 -6 1-23 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 '4- 0 2 -1 2 1 4 -7 6 0 1 12

第一章 行列式 例1 用克拉默则解方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −

第一章行列式 7 -5 13 -3 -5 3 C1+2C2 2 -1 2 0-1 0 c3+2c2 7 -7 12 -7 -7 -2 -3 3 27, -7 -2 8 1 -5 1 2 8 -5 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 -5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 10 -7 81, = =-108

第一章 行列式 7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108

第一章行列式 2 8 2 5 8 1 -3 9 6 1 -3 0 9 D3= 0 2 -5 2 0 2 -1 -5 1 4 0 6 1 4 -7 0 -27, =27, D 81 108 .X1 =3, D= =-4, D 27 27 D427 X3= D3 -211, =1. 27 27

第一章 行列式 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1  1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x