《数学分析》课程教学课件（讲稿）傅里叶级数

§1傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利，但对函数的要求很高（无限次可导）.如果 函数没有这么好的性质，能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢？这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用，是又一类重要的级数. 一、三角级数正交函数系 二、 以2π为周期的函数的傅里叶级数 三、收敛定理 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数

一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一 种周期运动.最简单的周期运动，可用正弦函数 y=Asin(@x+o) (1) 来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动， 其中A为振幅。P为初相角，ω为角频率，于是简谐 振动的周期是T=2π.较为复杂的周期运动，则 常常是几个简谐振动 前页 后页 返回

前页 后页 返回 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 y A x   sin( ) (1)   来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅.  为初相角,  为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 2π T .   较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动

y=Arsin(kox+e),k=1,2,.,n 的叠加： y=之以=A:wsin(kox+-p,小 (2) 由于简洁振动的州期为r-）4=2 所以函数(2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 A+∑A,sin(n@.x+pn) (3) =1 若级数3)收敛，则它所描述的是更为一般的周期运 前页 返回

前页 后页 返回    sin( ) , 1,2, , k k k y A k x k n   1 1 sin( ). (2) n n k k k k k y y A k x          k y 2π , 1,2, , , T T k n k          由于简谐振动 的周期为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数   0    1 sin( ). (3) n n n A A n x   的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运

动现象.对于级数3)，只须讨论0=1（如果0≠1可 用ox代换x)的情形.由于 sin(nx+)=sine,cosnx+coso sinnx, 所以 A+∑A,sin(ur+p,) +(A sing cosnx+4 coso,sinnx).(3) =I i记A-受A,n0.=0Aosg,=b7=l2 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 动现象. 对于级数(3), 只须讨论   1 (如果   1 可 用 x 代换x )的情形. 由于 sin( ) sin cos cos sin , nx nx nx       n n n 所以   0    1 sin( ) n n n A A nx         0 1 ( sin cos cos sin ). (3 ) n n n n n A A nx A nx   0 0 , sin , cos , 1,2, , 2 n n n n n n a 记 A A a A b n      

则级数(3')可写成 2+∑(a.cosnx+b.sinc) (4) 2 n=1 它是由三角函数列（也称为三角函数系） 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,.,cosnx,sinnx,.(5) 所产生的一般形式的三角级数、 容易验证，若三角级数(4)收敛，则它的和一定是一 个以2π为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理： 前顶 后页 返回

前页 后页 返回      0 1 ( cos sin ). (4) 2 n n n a a nx b nx 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , (5) x x x x nx nx 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 2π 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( ) 3 可写成

定理15.1若级数 +0a+1b. 00 2 n=] 收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 证对任何实数x,由于 a,cosnx+b sinnx a+b, 根据优级数判别法，就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性，先讨论三角函 数系（⑤）的特性.首先容易看出三角级数系（⑤）中所 前页 返回

前页 后页 返回 定理 15.1 若级数      0 1 | | (| | | |). 2 n n n a a b 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 | cos sin | | | | |, n n n n a nx b nx a b    根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所

有函数具有共同的周期2π. 其次，在三角函数系（⑤）中，任何两个不相同的函数 的乘积在【-π，上的积分等于零，即 cosd=∫sin nd=0, (6) [cos mxcos ndx=0(m≠n, sin mxsin nxdx =0 (mn), (7) cos mxsin nxdx=0. 而（⑤）中任何一个函数的平方在【元，上的积分都 前

前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数       π π π π cos d sin d 0, (6) nx x nx x π π π π π π cos cos d 0 ( ), sin sin d 0 ( ), (7) cos sin d 0 . mx nx x m n mx nx x m n mx nx x                  有函数具有共同的周期 2 π. 的乘积在 [ , ]   上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都

不等于零，即 cos2mde=小nsin2lc=元， (8) ∫1Px=2元 若两个函数P与v在[血，b]上可积，且 (w)w(x)dx-0 则称p与在[a,b]上是正交的，或在[4，b上具有正 交性.由此三角函数系(4)在【-π，π]上具有正交性 或者说（⑤）是正交函数系. 前页

前页 后页 返回 不等于零, 即 π π 2 2 π π π 2 π cos d sin d π, (8) 1 d 2π nx x x x x               若两个函数  与  在 [ , ] a b 上可积, 且   ( ) ( )d 0 b a  x x x 则称  与  在 [ , ] a b 上是正交的, 或在 [ , ] a b 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 [π,π] 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 现应用三角函数系（⑤）的正交性来讨论三角级数（④） 的和函数f与级数(4)的系数a,an,bn之间的关系. 定理15.2若在[-兀，π]上 -=2+2a,osac+么snu (9) 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： a-If(x)cosnxdx,n=0.12. (10a )sindxn12. (10b) 前页 返

前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 0 , , n n a a b 之间的关系. 定理15.2 若在[-π,π]上       0 1 ( ) ( cos sin ) (9) 2 n n n a f x a nx b nx 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: π π 1 ( )cos d , 0,1,2, , (10 ) π n a f x nx x n a     二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 π π 1 ( )sin d , 1,2, , (10 ) π n b f x nx x n b    

证由定理条件，函数f在[-π，π]上连续且可积.对 9)式逐项积分得 ∫fxix =2dc+2a小cosnxdx+b.小.sin/vd,) 由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零. 所以 ∫fx)dr=g.2π=a,m, 2 前页 后页 返回

前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ]   上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得  π π f x x ( )d             π π π 0 π π π 1 d ( cos d sin d ). 2 n n n a x a nx x b nx x 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 π 0 0 π ( )d 2π π, 2 a f x x a     