《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章_2.2向量和线性运算

52.2 向量及其线性运算 一、n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结思考题

§2.2 向量及其线性运算 一、n维向量的概念 二、n 维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结 思考题

一、n维向量概念 定义2.2.1 由n个数组成的有序数组(a,2,.an)称为一个n 维向量。 ☐=(a1,2,.am） 其中第i个数(i=1,2,.,n)称为n维 向量口的第i个分量或坐标. 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量

由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为一个n 维向量. ￾ = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维 向量 ￾ 的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量

例如，n元线性方程(8)中第i1￡i￡m)个方程 aix+ai2x2 +L +ainxn=b 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (a1,42,L,4m,b) 而该方程的一个解x,=C1,X2=C2,L,xn=Cn可用一个n 维向量(C1,C2,L,Cn)来表示，该方程组的解构成的n维 向量叫做该方程组的解向量. 定义：两个向量口=(41,2，.4n),口=(b1,b2.b m)相等，记口= 4=b(i=1,2,. ,10

定义：两个向量￾ = ( a1 , a2 , . an ), ￾ = (b 1 , b 2 , . b n )相等，记 ￾ = ￾ ai = bi ( i = 1, 2, . , n)

零向量 0=(0,0,.,0) 负向量对口=（41,2，.an),称 (一41，一2，一n)为口的负向量记为一口 ● -0=(-41,一2，一0n) 行向量 ☐=（41,23，n） 2eM10 sazz 列向量 SM÷ a,0

零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对 ￾ = ( a1 , a2 , . an ) ,称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为￾ 的负向量.记为－￾ . －￾ = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量 ￾ = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量

二、n维向量的线性运算 1.定义2.2.2设☐=(41,2，4n),口=(b1vb23,b n 都是n维向量，向量(41+b1,2+b2,n+b)称为 向量口与口的和，记作口+口，即 ]+口=(41+b1,2+b2,4n+bn) 由负向量即可定义向量的减法： 口-口=0+(-0）=(41-b1,4n-bn)

1.定义2.2.2 设￾ = ( a1 , a2 , ., an ), ￾ = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为 向量￾ 与￾ 的和，记作￾ +￾ ，即 ￾ + ￾ = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算 ￾ －￾ = ￾ + (－￾ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法：

2.定义2.2.3设口=(41,42，4n),口是实数，定义 □□=（口a1,☐2，□0n) 称为数口与向量口的乘积，记作口口，简称为数 要与向量口的乘积的性质有： 1)0a=0(2)(-1)a=-a(3)10=0 (4)如果110，a10,那么la10. 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

￾￾ = ( ￾ a1 , ￾ a2 , ., ￾ an ) 称为数￾ 与向量￾ 的乘积，记作￾ ￾ ，简称为数 乘. 设￾ = ( a1 , a2 , ., an 2.定义2.2.3 )， ￾ 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数￾ 与向量￾ 的乘积的性质有:

3.向量的线性运算满足八条运算律 设口、口、口是n维向量，0是n维零 向量，k、1是任意实数。 (1) □+☐三☐+ 0 (2) (0+口)+口=口+（口 +口) 3)口+0=口 (4) 口+（一口）=0

3.向量的线性运算满足八条运算律 (1) ￾ + ￾ ＝ ￾ + ￾ (2) (￾ + ￾ ) + ￾ ＝ ￾ + ( ￾ + ￾ ) (3) ￾ + 0 ＝ ￾ (4) ￾ + (－￾ ) ＝ 0 设 ￾ 、￾ 、￾ 是 n 维向量，0 是 n 维零 向量，k、 l 是任意实数

(⑤)k(口+口)=k知+k口 (6(k+)口=k知+口 (7)(k)口=k(1D) (8)1口=□

(5) k (￾ + ￾ ) ＝ k￾ + k￾ (6) ( k + l ) ￾ = k￾ + l￾ (7) ( k l ) ￾ = k ( l￾ ) (8) 1·￾ = ￾

例1设口=(1,3，-2,2)，口=(5,1，-2,0)， 若已知口+2口=3口，求向量口. 解：由口+2口=3口得 g=236-w）=25,36.0-3-2.2训 1 (14,0,-4-2)=(7,0,-2,-1) 2 é5ù e3ù e.70 eú 例2 已知向量a1=e3ú，301-42=17i, 求向量2a1+302 28 息2增 ⑧4且 ⑧8且

例1 设 ￾ =( 1 ， 3 ，-2 ， 2 ) , ￾ = ( 5 ， 1 ，-2 ，0 ) ， 若已知 ￾ +2 ￾ = 3 ￾ ，求向量 ￾ . 解 : 由 ￾ +2 ￾ =3 ￾ 得

e3ùd 解：由已知得 7 S 3a1-4a2= 17ú e 2ú ⑧8ǖ 得 é12ù e3ù e 1 18 az = 3 d- e17 -628 4 e 4e。ú e8d e、ú è2i 度4自 度8日 84自 81日

得 解:由已知得