《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章_1.3行列式的计算

S1.3n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用竹列式控竹（到)展开的定理 和竹列式的性质外算行列式的方法，主要涉及的方法 有如下几种。 1.化行列式为特殊类型的行列式 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法）5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法

§1.3 n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理 和行列式的性质计算行列式的方法,主要涉及的方法 有如下几种。 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法） 5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。 1.化行列式为特殊类型的行列式

1.化行列式为特殊类型的行列式 例1计算 4 3 -1 -2 -6 5 3 1 2 -1 0 3 5 2 4 解： 1 2 -1 0 1 2 -1 0 2+2r 1《3 -2 -6 5 3 3-4 0 -2 3 3 D 4 3 -1 4-3斯 0 -7 7 -1 3 5 2 4 0 -1 5 4

解： 1.化行列式为特殊类型的行列式 例1 计算

12 -1 0 1 2 -1 0 r2《T4 0 -1 5 4 5-720 -1 5 4 0 -7 7 -1 r4-220 0 -28-29 0 -2 3 3 0 0 -7 -5 12 -1 0 1 2 -1 0 3《4 -1 5 4 r443 0 -1 5 4 0 0 -7 -5 0 0 -7 -5 0 0-28 -29 0 0 0 -9 =-1'(-1)'(-7)'(-9)=63

注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2设多项式 1 23 1 2-x2 2 3 f(x)= 2 3 1 5 2 3 1 9- 试求f(x)的根

注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2 设多项式 试求f(x)的根

解： 1 0 0 0 c2-C1 93-291 1-k2 0 0 f(x) c43G12 1 -3 -1 2 1 -3 3-x2 1 0 0 1 c433 1 0 0 0 =-3(1-x2)(4-2) 2 1 -3 2 -34-x2 求得f(x)=0的根为x1=-1,x2=1,x3=-2,4=2

解 : 求得f(x)=0的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2

a b 例3计算行列式 b a b L b D= b a L b LL LL a 解：将第2,3，.，n列都加到第1列得 a+(n-1)bbb L b a+(n-1)b a b L D=a+(n-1)b b a L b L LLLL a+(n-1)bbb L a

解：将第2,3,.，n列都加到第1列得 例3计算行列式

1 b b L b 1 a b L b =a+(n-1)b]1 _b a L b L L L LL 1 L a 1 b b L b 0 a-b 00 0 =a+(n-I0)b]0 0a-b00 =[a+(n-1bla-b)- MM MO M 00 0 L a-b

注意：行列式的每一行的各元素之和相等时常用 此法。 例如下面的行列式 x-m , 1 L X x x-m L n 1 D 七-L X L L L -(x-m L L 七 X2 L x-m 1 Lx,-2 1 0 L 0 1 m L 0 n x-m = L L (ax,-m(-m)- i=1 0 L -m

例题4：计算行列式 ao 1 1 L 1 1 a 0 L 0 D,= 1 0 a, L 0 L L L L L 1 0 0 L a 解： a 11L 1 n 1 ao-a 0 0 L 0 1 a 0 L 0 =14 1 a 0 L 0 D,= 0 a L 0 1 0 a, L 0 L L L L L L L L L L 1 00 L 0 0 L an =(a-8 -)a,a2L a

2、降阶法 例5 计算行列式 a b d a a+b a+b+c a+b+c+d D- a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d 解： a b C d r43 3-2 0 a a+b a+b+c D = 21 0 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c

例5 计算行列式 解： 2、降阶法