《数学分析》课程教学课件（讲稿）第十章 定积分应用

第十章定积分应用 y-f(x) x+dx 2019/2/21

2019/2/21 1 第十章 定积分应用 0 x y a y=f (x) x x+dx b

第一节定积分的元素法 一、问题的提出 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介 绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积， 曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。 如何应用定积分解决实际问题 微元法： 2019/2/21 2

2019/2/21 2 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介 绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积， 曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。 第一节 定积分的元素法 一、问题的提出 如何应用定积分解决实际问题_微元法：

回顾 曲边梯形面积A=∫fx)的计算过程： (山分割.把区间[ab1分成n个小区间，有A=∑△4 i-1 总量A对于[a,b]具有区间可加性，即A可以分割成 n个部分量A:的和. 2)近似.计算△4的近似值△4，≈f(传)△x,:-1≤5，≤) 3)求和.得A的近似值 A≈∑f(5,)Ac, =1 y=f(x) (4求极限.A=im ∑f(5)Ax 2→0 i=1 =∫fa 0 72 2019/2/21 Xo=a x Xi-1X Xn-1b=x

2019/2/21 3 回顾 曲边梯形面积 A   的计算过程： b a f (x)dx 把区间[a, b]分成n个小区间, 有    n i A Ai 1 总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 计算Ai的近似值 i i i A  f ( )x ( ) xi1   i  xi 得A的近似值    n i i i A f x 1 ( )         b a n i i i f x d x A f x ( ) lim ( ) 1 0   i i f ( ) x i i i A  f ( )x (1) 分割. (2) 近似. (3) 求和. (4) 求极限. n个部分量Ai 的和.  a b 0 x 1x i i x x 1 n1 x n  x 0 x y y = f (x)  1  2  i  n 即A可以分割成

把上述步骤略去下标，改写为： ()分割.取微元任取一个具有代表性的小区间 x,x+d(区间微元)， 用△A表示x,x+上的小曲边梯形的面积， (2)近似.计算△4的近似值△4≈f(x)·dk 并记d4=f(x)c称为面积微元y1 y=f(x) 3)求和.(4求极限 则A=f(x)dx xx+dx b x 这种方法通常称为微元法或元素法

2019/2/21 4 把上述步骤略去下标，改写为： (1) 分割. (2) 近似. (3) 求和. (4) 求极限. 计算A的近似值 A f (x) dx x y 0 a b y  f x x x+dx   b 则A a f (x)dx 并记dA  f (x)dx 称为面积元素 这种方法通常称为微元法或元素法 面积微元 用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)

可用微元法的条件 1.若总量U非均匀分布在变量x的某个区间[a,b]上； 2.总量U有可加性。 步 (1)求微元 局部近似得dU=fx)dx (2)求全量 微元积分得U-fx)d 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等. 2019/2/2

2019/2/21 5 1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上; 2. 总量U有可加性. (1) 求微元 局部近似得 dU = f (x)dx (2) 求全量 微元积分得   b a U f (x)dx 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等． 可用微元法的条件 步 骤

微元法的实质 ()整体问题转化为局部问题； (2)在局部范围内，以常代变，以直代曲； 3)取极限（定积分）由近似值变为精确值。 2019/2/21 6

2019/2/21 6 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； 微元法的实质 (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值

微元法(Element Method) 例1.写出长为1的非均匀细直棒质量的积分表达式， 任一点的线密度是长度的函数。 解：建立坐标如图，设任意点x的密度为p(x) 0 xx+dx 关键p(x)变量！一p=C stepl.取微元x,x+d,则dM:=p(x) stcp2,质量M-p(x 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的 209m些应用

2019/2/21 7 例1.写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式， 任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, o x x+dx l x 设任意点x的密度为 (x) step1. 取微元[x, x  dx],则dM  ? step2. x)dx l   0 质量M ( 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的 一些应用。 微元法 (Element Method)  (x)dx 关键 (x)变量！ (x)  C

第二节定积分在儿何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 2019/2/21 8

2019/2/21 8 第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长

平面图形的面积 一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结思考题 2019/2/21 9

2019/2/21 9 平面图形的面积 一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题

一、直角坐标系情形 y↑y=f(x) (x) xx+△rb 曲边梯形的面积 由=fc)和y=)围成的面积： dA=f(x)dx dA=If(x)-f(x)]ax A-(x)dx A=∫f(x)-f(x

2019/2/21 10 x y o y  f (x) a b x y o ( ) y  f 1 x ( ) y  f 2 x a b 曲边梯形的面积 dA  f (x)dx 由y=f1 (x)和y=f2 (x)围成的面积: dA [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形   b a A f (x)dx xx  x x x  x    b a A [ f 2 (x) f 1 (x)]dx