《数学分析》课程教学课件（讲稿）幂级数

§1幂级数 一般项为幂函数（一X)”的函数项级数称 为幂级数，这是一类最简单的函数项级数.幂级 数在级数理论中有着特殊的地位，在函数逼近 和近似计算中有重要应用，特别是函数的暴级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具， 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称 为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级 数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近 和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 0 ( )n n a x x  三、幂级数的运算 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质

一、幂级数的收敛区间 函数项级数 2a.(=a+u(++u付+ 幂级数 幂级数系数 2a-x,P=a,+a-,)++a,代-x,P+ 注：当x=0时，∑a,x”=a+ax++ax”+. n=0 前页 返回

前页 后页 返回 函数项级数             u x u x u x un x n n 1 2 1 幂级数           n n n n n a (x x ) a a (x x ) a (x x ) 0 1 0 0 0 0 幂级数系数 0 0 1 0 0 n n n n n x a x a a x a x   注：当       时，  一、幂级数的收敛区间

2.幂级数的收敛点与收敛域 ●●】 如果x。∈I,数项级数∑Wn(xo)收敛， n=1 00 则称x为级数∑4n(x)的收敛点， 否则称为发散点 =1 函数项级数∑4，()的所有收敛点的全体称为收敛域 所有发散点的全体称为发散域 前页 后页 返回

前页 后页 返回 2.幂级数的收敛点与收敛域 如果x  I 0 ,数项级数  1 0 ( ) n un x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n  n   的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n  n   的所有收敛点的全体称为收敛域

例如级数∑x”=1+x+x2+, 当x<1时，收敛；当≥1时，发散； 收敛域(-1,1)；发散域(-oo,-1U[1,+o)； 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？ 前页 返回

前页 后页 返回 1 , 2 0        x x x n 例如级数 n 当x  1时,收敛; 当x  1时,发散; 收敛域(1,1); 发散域(,1][1,); 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？

定理14.1（Abel定理) 如果级数∑4nx”在x=x(x,≠0)处收敛，则 n=0 它在满足不等式xx,的一切处发散， 证明( 0∑anx收敛，lim0,x”=0, n-→oo n=0 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定理 14.1 (Abel 定理) 如果级数n0 n a n x 在 ( 0 ) x  x 0 x 0  处收敛,则 它在满足不等式 x  x 0 的一切x处绝对收敛; 如果级数n0 n an x 在x  x0 处发散,则它在满足 不等式 x  x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0,  0   n n n (1) , a x 0  0 收敛 n n  an x

3M,使得anx”≤M(n=0,1,2,） axepxg=a ≤M x 当 <1时，等比级数∑M 收敛， n=0 o .∑a“收敛，即级数∑0x收敛 =0 前页 后页 返回

前页 后页 返回 ( 0,1,2, ) a x0  M n   n 使得 n  M, n n n n n n x x a x a x 0 0   n n n x x a x 0 0   n x x M 0  1 , 0 当  时 x x  , 0 0 等比级数 收敛 n n x x  M   , 0  收敛    n n an x ; 0 即级数 收敛  n n an x

(2)假设当x=x时发散， 而有一点x适合x>xo使级数收敛， 由()结论则级数当x=飞时应收敛， 这与所设矛盾。 几何说明 收敛区域 发散区域-R R 发散区域 前页 后 返回

前页 后页 返回 (2) , 假设当x  x0时发散 而有一点x1 适合 x1  x0 使级数收敛, 则级数当x  x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o             R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域

由定理14.1知道 如果幂级数∑4nx”不是仅在x=0一点收敛， n=0 也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全 确定的正数R存在，它具有下列性质： 当xR时，幂级数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散 前 后项 返回

前页 后页 返回 如果幂级数  n0 n n a x 不是仅在x  0一点收敛, 当 x  R时,幂级数绝对收敛; 当 x  R时,幂级数发散; 当x  R与x  R时,幂级数可能收敛也可能发散. 由定理14.1知道 确定的正数R存在,它具有下列性质: 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全

定义：正数R称为幂级数的收敛半径， 开区间（一R,P)称为幂级数的收敛区间 收敛域是(-R,P),[-R,R),(-R,R]-R,]之一 规定（少）幂级数只在x=0处收敛， R=0, (2）幂级数对一切x都收敛， R=+0,收敛域(-0，十oo). 问题 如何求幂级数的收敛半径？ 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. R  0, [R,R),(R,R],[R,R] 之一. 规定 R  , 收敛域(,). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (1) 幂级数只在x  0处收敛, (2) 幂级数对一切x都收敛, 收敛域是 开区间 (R,R) 称为幂级数的收敛区间. (R,R)

定理14.2对于幂级数(2)，若 imve.j-p. (3) 则当 ()0<p<+o时，幂级数(2)的收敛半径R= ()p=0时，幂级数(2)的收敛半径R=+0; (i)p=+o时，幂级数(2)的收敛半径R=0. 证对于幂级数∑1anx”b由于 1=0 limalimalxplxk 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定理14.2 对于幂级数(2), 若 lim , (3) n n n a    则当 1 (i) 0 , (2) ;  R      时 幂级数 的收敛半径 (ii) 0 , (2) ;     时 幂级数 的收敛半径 R (iii) , (2) 0.     时 幂级数 的收敛半径 R 证 0 | |, n n n 对于幂级数 由于 a x    lim | | lim | | | | | |, n n n n n n n a x a x x     