《数学分析》课程教学课件（讲稿）以 2l为周期的函数的展开式

§2以21为周期的函数的展开式 上节讨论了以2元为周期，或定义在(-元，π 上然后作2元周期延拓的函数的傅里叶展开式， 本节讨论更有一般性的以21为周期的函数的 傅里叶展开式，以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式 一、以21为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2 为周期, 或定义在 上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的 傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式. ( ] π, π 返回 一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数

一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设f是以2l为周期的函数，通过变量替换： -1或x lt 就可以将f变换成以2π为周期的关于变量t的函数 F0=)若f在上可积则F在x列 上也可积，这时函数F的傅里叶级数展开式是： F经+2a,ox6sna () n=1 前页 后页 返回

前页 后页 返回 一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换: π , π x lt t x l   或        ( ) . π lt F t f 若 f 在 [ , ] l l 上可积, 则 F 在 [π, π] 上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是: 0 1 ( ) ( cos sin ), (1) 2 n n n a F x a nx b nx      就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 t 的函数

其中 d()cosmd,1,2. (2) 6.=∫F))sinn，n=l,2,. 因为1-，所以F0=f)f于是由L与 (2)式分别得 f-受+a."T+snT (3) 1=1 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 其中 (2) π π π π 1 ( )cos d , 1,2, , π 1 ( )sin dt , 1,2, . π n n a F t nt t n b F t nt n          πx t l         ( ) ( ). π lt 因为 , 所以 F t f f x 于是由(1)与 (2)式分别得 0 1 π π ( ) ( cos sin ), (3) 2 n n n a n x n x f x a b l l     

与 ()cos ds1 (4) A,-/x)sin",n=1,23. 这里(4)式是以21为周期的函数f的傅里叶系数，(3) 式是f的傅里叶级数， 若函数f在【-1，上按段光滑，则同样可由收敛定理 知道 前页 后页 返回

前页 后页 返回 与 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3) 式是 f 的傅里叶级数. 若函数 f 在 [ , ] l l 上按段光滑, 则同样可由收敛定理 知道 1 π ( )cos d , 0,1,2, , 1 π ( )sin d , 1,2,3, . l n l l n l n x a f x x n l l n x b f x x n l l         (4)

f(x+0)+f(x-0) 2 是+a,"Tsim" (5) 例1将函数 f(x)= 0,-5≤x<0, 3, 0≤x<5 展开成傅里叶级数 解由于f在(-5,5上按段光滑，因此可以展开成傅 前页 后页 返回

前页 后页 返回 ( 0) ( 0) 2 f x f x    例1 将函数 0, 5 0, ( ) 3, 0 5 x f x x          展开成傅里叶级数. 0 1 π π ( cos sin ). (5) 2 n n n a n x n x a b l l       解 由于 f 在( 5,5] ,  上按段光滑 因此可以展开成傅

里叶级数.根据(4)式，有 3cos- nnx dx 5 a-53fxdc=5打3c=3, .in 前页 后页 返回

前页 后页 返回 里叶级数.根据 (4) 式,有 0 5 5 0 1 π 1 π 0 cos d 3cos d 5 5 5 5 n n x n x a x x       5 0 3 5 π sin 0, 1,2, , 5 π 5 n x n n     5 5 0 5 0 1 1 ( )d 3d 3, 5 5 a f x x x       5 0 1 π 3sin d 5 5 n n x b x  

5 3(1-c0sm) cos nπ 5 nn 6 n=2k-1,k=1,2,., (2k-1)π 0, n=2k,2k=1,2,. 代入（⑤）式，得 3 00 6 f(x)= sin (2k-1)nx k后台(2k-1) 5 36 x,13元x,15x sin -十 -sIn- -sIn- + 2元 535+59n5 前页 后页 返回

前页 后页 返回           5 0 3 5 π 3(1 cos π) cos 5 π 5 π n x n n n             6 , 2 1, 1,2, , (2 1)π 0, 2 ,2 1,2, . n k k k n k k 代入(5)式, 得        1 3 6 (2 1)π ( ) sin 2 (2 1) k π 5 k x f x k            3 6 π 1 3π 1 5π sin sin sin . 2 π 5 3 5 5 5 x x x

这里x∈(-5,0)U(0,5).当x=0和±5时级数收敛于 2. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 这里 x  ( 5,0) (0,5). 当 x  0 和±5 时级数收敛于 3 2

二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 设f是以21为周期的偶函数，或是定义在[-L,)上 的偶函数，则在-L,I上，f(x)cosx是偶函数， f(x)sinx是奇函数.因此，f的傅里叶系数(4)是 cosas )cos ds,2 (6) f()sin1.2 前页 后页 返回

前页 后页 返回 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 的偶函数, 则在 [ , ] l l 上, f x nx ( )cos 是偶函数, f x nx ( )sin 是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是 0 1 π ( )cos d 2 π ( )cos d , 0,1,2, , (6) 1 π ( )sin d 0, 1,2, . l n l l l n l n x a f x x l l n x f x x n l l n x b f x x n l l                     设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在 [ , ] l l 上

于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 00 2 (7) n= 其中如(6)式所示(7式右边的级数称为余弦级数 同理，若f是以21为周期的奇函数，或是定义在 [-1,Ⅵ上的奇函数，类似可推得 ()cosd1.2 (8) )sin u ds,. 前页 后 返回

前页 后页 返回 于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项, 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数. 0 1 π ( ) cos , (7) 2 n n a n x f x a l    同理, 若 f 是以 2l 为周期的奇函数, 或是定义在 [ , ] l l 上的奇函数, 类似可推得 0 1 π ( )cos d 0, 0,1,2, , (8) 2 π ( )sin d , 1,2, . l n l l n n x a f x x n l l n x b f x x n l l             