《数学分析》课程教学课件（讲稿）一致收敛性

§1一致收敛性 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性

一、函数列及其一致收敛性 设 f,f,.,fn,. () 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E 上的函数列.(1)也可记为 {fn}或fn,n=1,2,. 以x∈E代入(1)，可得数列 fi(x)为f2(xo),.,fn(xo). 前页 返回

前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 1 2 , , , , (1) n f f f 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 { } , 1,2, . f f n n n 或  以 0 x E  代入 (1), 可得数列 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . (2) n f x f x f x

如果数列(2)收敛，则称函数列(1)在点x收敛，x称 为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散，则称函数 列(1)在点x发散.当函数列(1)在数集DcE上每一 点都收敛时，就称()在数集D上收敛.这时D上每 一点x都有数列{f,(x)}的一个极限值与之相对应， 根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数 列(1)的极限函数.若将此极限函数记作∫则有 limf(x)=f(x),x∈D 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 0 x 0 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, x 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 0 x 发散. 当函数列(1)在数集 D E  上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x { ( )} n 一点 都有数列 f x 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 lim ( ) ( ) , n n f x f x x D   

或 fn(x)→f(x)(n→o),x∈D. 函数列极限的ε-N定义：对每一固定的x∈D,任 给正数6，总存在正数N(注意：一般说来N值与ε和 x的值都有关，所以有时也用N(ε，x)表示三者之间 的依赖关系)，使当n>N时，总有 If (x)-f(x)Ks. 使函数列{f}收敛的全体收敛点集合，称为函数列 {fn}的收敛域. 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 或 ( ) ( ) ( ) , . n f x f x n x D     函数列极限的   N 定义: 对每一固定的 x D  , 任 给正数  , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与  和 x 的值都有关, 所以有时也用N(  , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 n N 时, 总有 | ( ) ( ) | . n f x f x    使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 { }n f 的收敛域

例1设fn(x)=x”,n=1,2,.为定义在(-oo,o)上的 函数列，证明它的收敛域是(-1，刂，且有极限函数 f(x)= 0,|xk1, 1,x=1. 证任给￡>0（不妨设εN6利时，就有 |fn(x)-f(x)曰x"<x=&. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 例1 ( ) , 1,2, , n n 设 为定义在(- ) f x x n     上的 函数列, 证明它的收敛域是 ( 1, 1]  , 且有极限函数 0, | | 1, ( ) 1, 1. x f x x       证 任给 不妨设 当 时 由于       0 ( 1), 0 | | 1 , x | ( ) ( ) | | |, n n f x f x x   ln ( , ) , ( , ) ln | | N x n N x x  只要取 当 时,就有     | ( ) ( ) | | | | | . n N n f x f x x x     

当x=0和x=1时，则对任何正整数n,都有 1f(0)-f(0)=01时，有|x”→+o(n→o),当x=-1时， 对应的数列为-1,1，-1,1.，显然是发散的.所以 函数列{x”}在区间(-1，川外都是发散的.故所讨论 的函数列的收敛域是(-1,1. 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 当 和 时 则对任何正整数 都有 x x n   0 1 , , | (0) (0) | 0 n f f    ， | (1) (1) | 0 . n f f     式所表示的函数. | | 1 | | ( ), n 又 当 时, 有 x x n      当 时 x  1 , 对应的数列为  1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以 { }n 函数列 x 在区间 ( 1, 1]  外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 ( 1, 1].  这就证明了 { } 在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3) n f 1

例2定义在(-0，+o)上的函数列f,()=sin心， n=1,2,. 由于对任何实数七，都有 故对任给的ε>0，只要n>N=-,就有 <e. 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 例2 sin ( , ) ( ) , n nx f x n 定义在 上的函数列     n  1,2, . sin 1 , nx n n  1  0, , n N  故对任给的 只要 就有    sin 0 . nx n    由于对任何实数 都有 x

所以函数列{sinx/n}的收敛域为(-oo,+oo),极限 函数为f(x)=0. 注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系.例如，能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列 每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论， 必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行. 前页 返回

前页 后页 返回 所以函数列 sin ( , ), nx n的收敛域为    极限 函数为 f x( ) 0.  注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行

定义1设函数列{f}与函数f定义在同一数集D 上，若对任给的正数8，总存在某一正整数N,使当 n>N时，对一切x∈D,都有 |fn(x)-fx)Kε， 则称函数列{f}在D上一致收敛于f,记作 fn(x)3f(x)n→o),x∈D. 由定义看到，一致收敛就是对D上任何一点，函数列 趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现 前页

前页 后页 返回 设函数列{ }n 定义1 f f 与函数 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 总存在某一正整数  , , N 使当 n N 时， 对一切 都有 x D  , | ( ) ( ) | n f x f x    ， { }n 则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作 f D f  f x f x n x D n ( ) ( )( ) , .     由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现

为：与相对应的N仅与8有关，而与x在D上的 取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作 N(e). 显然，若函数列{∫n}在D上一致收敛，则必在D上 每一点都收敛.反之，在D上每一点都收敛的函数列， 它在D上不一定一致收敛， sinnx 例2中的函数列 是一致收敛的，因为对任意 前页

前页 后页 返回 N( ).  显然, 若函数列  f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与  相对应的 N 仅与  有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 sinnx n       是一致收敛的, 因为对任意