《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章向量代数与空间解析几何_D8_3平面及其方程

第三节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束

第三节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程

一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(x,y0,2)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MoM Ln 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-0,2-z0) A(x-x0)+B(y-y0)+C(2-2o)=0 称@式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M M ⊥n 0 0 M0M n = 则有 故 称 n 为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面血的法向量为 2 n=MM2×MM3 M M3 -34 -6 *M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈·，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例1.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M 2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6=0 -2 3-1 一般情况：过三点M(xk,yk,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-1 2-21 x2-x1y2-1 22-21 三0 X3-X1 y⅓-y1 23-21 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+2=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程！ 分析：利用三点式 X一 -a 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a ,b,c  0) (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2#0) ② 任取一组满足上述方程的数x,0,则 Ax0+B0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-Yo)+C(z-Zo)=0 显然方程②与此点法式方程等价因此方程②的图形是 法向量为=(4，B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程 》HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By + Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 A x0 + B y0 + C z0 + D = 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B + C  ② n = (A, B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+By+Cz+D=0 (42+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)Li,平面平行于x轴 ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面： ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面， ·C:+D=0表示平行于xoy面的平面， ·Ax十D=0表示平行于y02面的平面： ·By+D=0表示平行于0x面的平面 HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By + Cz + D = 0 ( 0 ) 2 2 2 A + B + C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0, B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 (P327例4，自己练习) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By + Cz = 0 代入已知点 (4, − 3, −1) 得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角。 设平面的法向量为元=(A,B,C1)》 平面2的法向量为2=(42，B2,C2》 则两平面夹角的余弦为 cos 0 1方n] mln2 即 A42+B B2 +C C2 c0s0= V42+B2+C√42+B22+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 + C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B + C 2 1 2 1 2 A1 + B + C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2  n2 n1  ( , , ) 1 A1 B1 C1 n = ( , , ) 2 A2 B2 C2 n = 1 2 1 2 cos n n n  n  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Π1：n1=(A,B,C)》 cos0= n'n2 Π2：n2=(A2,B2,C2） 特别有下列结论： )Π11卫2→方1 A1A2+BB2+C1C2=0 (2)1/Π2→元∥房 4=B=C A B2 C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2 特别有下列结论： 1 2 (1)  ⊥  0 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 1 2 (2)  //  2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C  =  = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n  n  = 1 2 n ⊥ n 1 2 n // n n2 n1 n2 n1 机动 目录 上页 下页 返回 结束