《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）2-3向量组的线性相关性

第三草向量的线性相关性 线性组合 二 方程组、矩阵、向量组的关系 三向量组的线性相关性 四、向量组的秩 五向量空间的维数 区回

四、向量组的秩 一 线性组合 三 向量组的线性相关性 五 向量空间的维数 二 方程组、 矩 阵、 向量组的关系

课前复习 1、定义n个数a1,a2,an组成的有序数组 a=（a1a2.an) 称为一个n维向量，其中a:称为第i个分量（坐标）. n维向量写成一行称为行向量，记作a心，B. n维向量写成一列称为列向量，记作a,B. 2、几种特殊向量 实向量，复向量，零向量，单位向量， 向量同型，向量相等

课前复习 １、定义 ｎ个数 a a a 1 2 , , , n 组成的有序数组  = (a a a 1 2 n ) 称为一个ｎ维向量，其中 称为第 个分量（坐标）. i a i ｎ维向量写成一行称为行向量，记作    , . ｎ维向量写成一列称为列向量，记作  , . ２、几种特殊向量 实向量，复向量，零向量，单位向量， 向量同型，向量相等

主王王 3、 向量的运算 向量的加法与数乘。 4、向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组 5、向量空间 设V为n维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 fa∈V,B∈V→a+B∈V; ②对数乘封闭 fa∈V,2∈R→λa∈V. 那么就称集合V为向量空间 回

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组． 4、向量组 if V V V        +  , ; 5、向量空间 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 ②对数乘封闭 那么就称集合Ｖ为向量空间. if V R V        , . 3、向量的运算 向量的加法与数乘

一、 向量的线性相关性 1、基本概念 定义2.3.1设向量组A:a1,a2,an和向量B, 如果存在一组数2，入2，2m,使 B=a1+22a2+.2nQm 则向量是向量组A:a,2,饱n,个线性组合， 或称向量B可由向量组A线性表示！

一、向量的线性相关性 1、基本概念 定义2.3.1设向量组 A:1 ,2 ,  , m 和向量，  = 1 1 + 2 2 + m  m 如果存在一组数1 ，2 ， ,m ，使 则向量是向量组A： , , , ,    1 2 的一个线性组合， m 或称向量 可由向量组 A 线性表示．

相关知识点 例1：任一n维向量a=（a,a2.an)都是 n维单位坐标向量组 6=(10.0),62=(01.0), 6.=(00.1),的一个线性组合. 显然有 a=4181+a282+.+0nem 注： ① 若α=k3,则称向量a与β诚比例. ② 零向量O是任一向量组的线性组合 O=0a1+0a2+.+0am. ③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示 上页 回

① 若α＝kβ，则称向量α与β成比例． ② 零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． ③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 1 2 0 0 0 . O = + + +    m ( ) 1  = 1 0 0 ， ( ) 2  = 0 1 0 ， ， (0 0 1) n  = ， 例1：任一ｎ维向量  = (a a a 1 2 n ) 都是 的一个线性组合． 1 1 2 2 . n n 显然有     = + + + a a a n 维单位坐标向量组 注：

例2：证明向量a(0,4,2)是向量a(1,2,3)a(2,3,1) a3,1,2)的线性组合，并将o用a1,az2,a3 线性表示 解：先假设ax=1a十入2a2十3ax3,即 (0,4,2=入1,2,3开22(2,3,1t23(3,1,2) λ十2兄2十323=0 123 因此 {2十32+2=4 由于 231=18≠0 3九+兄2+222 312 所以方程组有唯一解，可得入1，入21，入=一1， 于是 0=a1+a2a3

例2: 证明向量 ＝(0，4，2) 是向量 (1 2 3) (2 3 1) 1 ＝ ，2 ＝ ， 3 ＝(3，1，2)， 的线性组合, 并将 1 2 3 用 , , 线性表示 解: 先假设 ＝1 1 ＋2  2 ＋3  3 ， 即 (0 4 2) (1 2 3) (2 3 1) (3 1 2) ，＝1 ，＋2 ，＋3 ，      3 2 2 2 3 4 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝          因此 由于 18 0 3 1 2 2 3 1 1 2 3 ＝ －  所以方程组有唯一解,可得 1 ＝1，2 ＝1，3 ＝ －1， 于是 ＝1 ＋2 －3

小结： a与a1,a2,am的关系为以下三种情院一： 1、a可由a1,a2,.,am线性表示，且表达式唯一， 2、a可由a1,2,an线性表示 但不唯一 如0,0)=(4，-1)+(1,1)=01，-1)+0(-1,1) 3、 不能由a1,a2,m线性表示 回

小结: , , , : 与1  2   m 的关系为以下三种情形之 一 1、 可 由1 , 2 ,  , m 线性表示， 且表达式唯一； 2、 可 由1 , 2 ,  , m 线性表示， 但不唯一， 如(0, 0) = (1, −1)+ (−1,1) = 0(1, −1)+ 0(−1,1) 3、 不能由1 ,2 ,  , m 线性表示

二、元线性方程组矩阵、向量组的关系 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组 成的集合叫做向量组. 例如：矩阵A=(amxm有n个m维列向量： L12 4- 22 m2 mn 向量组m1,42,am称为矩阵A的列向量组

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:             = a a a a a a a a a a a a m m mj mn j n j n A             1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 a1 a2 a j an 向量组a1 , a2 ,···, an称为矩阵A的列向量组. 二、n 元线性方程组、 矩 阵、 向量组的关系

类似地，矩阵A-(amxn有n个n维行向量： 4021022 a2n a A= a402 (in a aml am2 an 向量组a,a必，am称为矩阵A的行向量组， 回

                = a a a a a a a a a a a a m m mn i i in n n A             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 1  向量组1 ’ , 2 ’ ,···, m ’称为矩阵A的行向量组. 类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:  2   i   m 

线性方程组的向量表示 2 12 21'1 22 因此线性方程组可写为 ax+ax2++ax=B 于是方程组有没有解的问题转化为向量B能否由 向量组41，L2,4n线性表示

线性方程组的向量表示        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b         1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 n n a x a x a x + + + =  a1 a2 a n  因此线性方程组可写为 方程组有没有解的问题转化为向量  能否由 1 2 , , , n 向量组 a a a 线性表示. 于是