《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）3-1矩阵的运算

第二草矩阵的运算 七 六适 兰二 九小结 乘数 共氣麵阵 伴随麵阵 方阵的行到式 短阵的转置 法乘 年

课前复习 1、矩阵的定义 由数域F中的m×n个数排成的m行n列的矩 形数表，称为数域F中的一个m×n矩阵. 12 记作：A= 21 22 mn 注：行矩阵，列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩 阵同型，两矩阵相等 回

课前复习 1、矩阵的定义 形数表，称为数域Ｆ中的一个ｍ×ｎ矩阵. 由数域Ｆ中的ｍ×ｎ个数 排成的ｍ行ｎ列的矩 ij a 记作： 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         注：行矩阵，列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩 阵同型，两矩阵相等

2、几种特殊的矩阵 1)零矩阵 m×n个元素全为零的矩阵称为零矩阵. 2)对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵 3)单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵 4)数量矩阵 主对角线上的所有元素全为的对角阵称为数量阵， 5)三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵， 6)负矩阵

2、几种特殊的矩阵 1）零矩阵 ｍ×ｎ个元素全为零的矩阵称为零矩阵. 2）对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵. 3）单位矩阵 主对角线上的所有元素全为１的对角阵称为单位阵. 4）数量矩阵 主对角线上的所有元素全为λ的对角阵称为数量阵. 5）三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵. 6）负矩阵

阶梯形矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵： 1)若有零行（元素全为零的行)，位于底部； 2)各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右： 8)行最简形矩阵 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵： 1)行阶梯形矩阵 2)各非零行的首非零元均为1. 3)首非零元所在列其它元素均为0. 9)标准形 称满足下列两个条件的矩阵为标准形： 1)左上角为单位阵；2)其它元素抱

称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵： 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部； 7）阶梯形矩阵 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵： 1）行阶梯形矩阵 8）行最简形矩阵 2）各非零行的首非零元均为１. 3）首非零元所在列其它元素均为０. 称满足下列两个条件的矩阵为标准形： 1）左上角为单位阵； 9）标准形 ２）其它元素均为０

矩阵的加法 1、定义 设有两个m×n矩阵A=(a,),B=(b,),那末矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 4u+b1 a2+b2 a21+b2 02+b22 4+B=

１、定义               + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 一、矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 mn A (a ), B (b ), = ij = ij A B A+ B

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算， 12 3 -5 1 8 9 例如 1 -9 0 + 、6 4 3 6 8 3 21 12+1 3+8 -5+9 13 11 4 1+6 -9+5 0+4 -4 4 3+3 6+2 8+1 8 上页 回

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = −

2、 矩阵加法的运算规律 ()A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C) - -L12 (3)-A= 一0l22 =(ag 称为矩阵A的负矩阵 4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B) 上页

2、 矩阵加法的运算规律 (1) A+ B = B + A; (2)(A+ B)+ C = A+ (B + C). ( )               − − − − − − − − − − = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 3 (4) A+ (− A) = 0, A− B = A+ (− B). ( ), = − aij 称为矩阵A的负矩阵

二、数与矩阵相乘 1、定义 数2与矩阵4的乘积记作机A或A九，规定为 211 212 21n 2A=A2= 221 222 22m Aam Aam Amn 这回

1、定义 . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn n n a a a a a a a a a A A                   二、数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为

运算规律 （设AB均是 矩阵， ),4∈R (1)1A=A (2)2(4A)=(2四)A (3)2(A+B)=A+2B (4)(2+四)A=A+A (5)0A=0 (6)0=0 注意：1)数乘矩阵是数去乘A中的每一个元素 2)若1A=,0则 2=0.0r.A=O .or.A-0.and.A=0 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算

2、运算规律 （设 A B C 均是 m n 矩阵，  ）  ,  R （1） 1A A = （2）    ( ) ( ) A A = （3）    ( ) A B A B + = + （4） ( )     + = + A A A （6） O O= 注意: 1）数乘矩阵是数λ去乘Ａ中的每一个元素. （5） 0A O= 2）若 A O= ，则   = = = = 0 . . . . 0. . or A O or and A O 矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算

主王王 3.1.3 矩阵的乘法 引例 设甲、乙两家公司生产I、Ⅱ、Ⅲ三种型 号的计算机，月产量（单位：台)为 I 工 血 甲 (252018 012 2520 13 18 4- 乙 2416 24 27 L22 L23 1627 如果生产这三种型号的计算机每台的利润（单位：万 子元 台)为 10.5 0.5 b 立0.2 B= 0.2 b21 正0.7 0.7 b31 都这两家公司的月利润单位：万元)为多少 上页 返回

3.1.3 矩阵的乘法 1、引例 设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型 11 12 13 21 22 23 a a a a a a   =     如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 乙 25 20 18 24 16 27 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 0.5 0.2 0.7 11 21 31 b b b     =       0.5 0.2 0.7 B     =       25 20 18 24 16 27 A   =     那么这两家公司的月利润 (单位：万元) 为多少? 号的计算机，月产量（单位：台）为 元／台)为