《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）4-1线性方程组

第四章线性方程组 一.线性方程组解的判别 二.齐次线性方程组 三.非齐次线性方程组

第四章 线性方程组 一. 线性方程组解的判别 二. 齐次线性方程组 三. 非齐次线性方程组

第一节 线性方程组解的判别 11x1+012x2+.+41nxn=b1 L21X1+022x2+.+a2mxn=b2 (1) amix1+am2x2++amxn =bm 11 121n 若记A= L21 L22 ,X= b= Aml 0m2 则上述方程组可写成矩阵方程 Ax=b. 当b=0时，称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性 方程组

第一节 线性方程组解的判别 设线性方程组      + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 若记 , 1 2 21 22 2 11 12 1           = m m mn n n a a a a a a a a a A        , 2 1           = n x x x x  则上述方程组可写成矩阵方程 Ax = b. , 2 1           = bm b b b  当b=0时, 称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性 方程组. (1)

11 L12 b 称矩阵A=(A,b)= L21 L22 b 为方程组(1)的增广矩阵。 当b=0(i=1,2,.,m)时，齐次线性方程组 L11x1 412x2 ainx = 0 21X1 十 22X2 0 (2) amx am2X2 0 称为方程组(1)的导出组 或称为(1)对应的齐次线性方程组

称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = 时,齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = ( , ) , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A A b        

对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增 广矩阵做初等行变换 ERT 4=(A,b) > S12 S1,r+1 t 0 S22 Sir S2,r+1 S2n 化为行阶 梯形矩阵 0 0. r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 区回

对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增 广矩阵做初等行变换 ERT A = (A, b) → 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn r r s s s s s t s s s s t s s s t t + + + +     ⎯⎯→   化为行阶 梯形矩阵

1 0. 0 C1,+1 Cin d 0 1. 0 C2r+1 d, 化为行最 简形矩阵 0 0. 1 d, 3) 0 0 0 0 0 d 0 0. 0 0 0 0 : 0 0. 0 0 0 则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解

则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解。 1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + +     ⎯⎯→   化为行最 简形矩阵

由矩阵(3)可讨论方程组(1)的解的情况 )若d,≠0，则方程组无解。 2) 若d,+1=0,则方程组有解， 当 r-n 有唯一解。 r<n 有无穷多解。 上页 区回

由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 dr+1  0 ，则方程组无解。 2) 若 1 0, r d + = 则方程组有解， 当 r n r n  =    有唯一解。 有无穷多解

举例说明消元法具体步骤 2X1 X2 + 3x3 例1：解线性方程组 4x 2x2 + 5x3 4 2x - X2 + 4x3 0 3 -1 解： A = 24 2 5 -1 4 140 秀 -1 3 1 200 0 -1 2 最后一行0x1+0x2+0x3=1, 0 0 可知方程组无解

举例说明消元法具体步骤： 例1：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x  − + =   − + =  − + =  解：           − − → 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 2 1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 1   − → −         − 最后一行 1 2 3 0 0 0 1, x x x + + = 可知方程组无解。 2 1 3 1 4 2 5 4 2 1 4 0 A   −   = −       −

- 2x2 +3x 4x4 =1 解线性方程组 + = 0 例2： X + 3x; 3x4 = 1 7x2 +3x3 +X4 = 0 -2 3 -4 解： (A,b)= 1010 13 7 03 10 -2 2 3 4 1000 I00 -24 1000 1000 100 1 8 0 回

例2：解线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 2 3 4 2 3 4 1 0 3 3 1 7 3 0 x x x x xxx x x x xxx  − + − =   − + =  + − =   − + + =  解： (A,b) = 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 0 0 2 4 0 0 0 4 8 0   − −   − →     −     −               − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 1 3 0 3 1 0 7 3 1 0   − −   −     −     −

1 -20 21 100 01 0 10 -10 010 -1 0 001 -20 001 -2 0 000 0/0 000 0 x1=1 X1=1 对应的方程组为x2-x4=0 即 x2=x4 x3-24=0 x3=2x4 七1=1 七2=k R(A)=R(A=3<4 所以一般解为 七3=2k (k为任意常数) 七4=k 上页

1 2 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0   −   − ⎯⎯→    −     1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0     − ⎯⎯→    −     对应的方程组为 1 2 4 3 4 1 0 2 0 x x x x x  =   − =  − =  1 2 4 3 4 1 2 x x x x x  =   =  =  即 所以一般解为 1 2 3 4 1 2 x x k x k x k  =   =  =    = （k为任意常数） R A R A ( ) = =  ( ) 3 4

T定理4.1.1线性方程组(1)有解 → R(A)=R(A) 士证： 设 a a2 B 11 112 b b, A=(A,B)= L21 L22 L21 则方程组(1)与x141+x242+.+xn0n=B等价 必要性若方程组有解，则阿由a1,42,an,线性表示 于是 秩{a1,2,.,an}=秩{41，a2,an,} 即 R(A)=R(A) 上页 区回

定理4.1.1 线性方程组(1)有解  R(A) = R(A) 证: 设 ( , ) , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A A          a1 2 a n a  则方程组(1)与 x1 a1 + x2 a2 ++ xn an =  等价. 必要性 若方程组有解,则 , , , , . 可 由a1 a2  an 线性表示 于是 秩a1 ,a2 ,  ,an = 秩a1 ,a2 ,  ,an , 即 R(A) = R(A)