《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）4-3非齐次线性方程组

第二草非赛炎线性交程组 一非齐次线性方程组解的性质 二应用养例 兰小绻 上页 返回

非齐次线性方程组解的性质 1、非齐次线性方程组 411X1+012X2+.+41mxm=b1 a21x1+22x2+.+02mxn=b2 (1) amix+am2x2++amnxn=bm L12 若记 A= Azi 22 @2n x= ,b= 则上述方程组(1)可写成向量方程 Ax=b

１、非齐次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  若记 （1） 一、非齐次线性方程组解的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a     =         1 2 , n x x x x     =         则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax b = . 1 2 m b b b b     =        

非齐次方程组Ax=b对应的齐次方程组Ax=0 称为该非齐次方程组的导出组. 2、非齐次线性方程组解的性质 (1若7，x2=为Ax的解，则 x=71-72 是其导出组Ax的解. (2)若x为A的解，x=η为Ax的解， 则x=5+n也是x=的解 (3)若71,72，7，都为Ax的解，则 71+72+.+7, 也是x=的解 S

（2）若 x = 为  Ax 的解， = 0 x = 为 Ax b = 的解， ２、非齐次线性方程组解的性质 （1）若 x x 1 1 2 2 = =   , 为 Ax b 的解，则 = 1 2 x = −   是其导出组 Ax = 的解 0 . 非齐次方程组 称为该非齐次方程组的导出组. Ax b = Ax = 0 则 x = +   也是 Ax b = 的解． 也是 Ax b = 的解． （3）若 1 2 , , ,   s 都为 的解，则 1 2 s s    + + + Ax b = 对应的齐次方程组

3、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=的通解为 x=k151+k252+.+kn5m,+n. 其中k15,+k252+.+kn,5m-,为其导出组的通解 ”为非齐次线性方程组的任意一个特解 4、非齐次线性方程组有解的几个等价命题 线性方程组Ax有解，则以下命题等价： 台向量b可由向量组a1,a2,.,a线性表示. →向量组c1,c2,.,Qn与向量组a1,a2,.,0n,b等价 台R(c,c,an)=R(a,a,an,b】

其中 k k k 1 1 2 2    + + + n r n r − − 为其导出组的通解， ３、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 Ax b = 的通解为 1 1 2 2 . n r n r x k k k     = + + + + − −   为非齐次线性方程组的任意一个特解. ４、非齐次线性方程组有解的几个等价命题  = R R b (      1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 线性方程组 Ax = 有解，则以下命题等价： b  1 2 , , , 向量ｂ可由向量组   n 线性表示.  1 2 , , , 向量组   n 与向量组 等价. 1 2 , , , , n    b

定理设元非齐次线性方程组的系数矩阵为A,增广 矩阵为B,则 1)线性方程组Ax有唯一解一R(A)=R(B)=n 2)线性方程组Ax有无穷解 →R(A=R(B)<n 3)线性方程组Ax无解 R(A)≠R(B) 回

设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，增广 １）线性方程组 Ax 有唯一解 = b  = = R A R B n ( ) ( ) 定理 矩阵为Ｂ，则 ２）线性方程组 Ax 有无穷解 = b  =  R A R B n ( ) ( ) ３）线性方程组 Ax = 无解 b   R A R B ( ) ( )

应用举例 求解下列非齐次线性方程组 X1-2x2+2x3-x4=1 2x1-4x2+8x3=2 -2x1+4x2-2x3+3x4=3 3x1-6x2-6x4=4 方程组的增广矩阵为 1 -2 2 -1 1-2 2 -1 2 -4 8 0 2 0 0 -2 4 -2 3 3 3 -6 0 -6 0 R(A)≠R(B),所以线性方程组无

例１ 求解下列非齐次线性方程组 二、应用举例 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 2 2 1 2 4 8 2 2 4 2 3 3 3 6 6 4 x x x x x x x x x x x x x x  − + − =   − + =  − + − + =    − − = 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 A   − −   − =     − −     − − 解 方程组的增广矩阵为 1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0   − −           R A R B ( ) ( ),  所以线性方程组无解

第4章 X1-x2-x3+x4=0, 例3 求解方程组 x1-x2+x3-3x4=1, x1-x2-2x3+3x4=-1/2. 解 对增广矩阵B施行初等行变换： 11 -1-1 10 B= -1 -3 1 1 -2 3 -1/2 1 -1 0 -11/2 0 0 1 -2 1/2 0 0 0 0 0 上页 区回

线性代数——第 4章 例3 求解方程组      − − + = − − + − = − − + = 2 3 1 2. 3 1, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B施行初等行变换:           − − − − − − − = 1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 B , 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~           − − −

线性代数 第4章 可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解，并有 x1=x2+x4+1/2, 王二二二二二二二王王王 X3= 2x4+1/2. 1 取==0，则x=x=2即得方程组的一个解 1/2 0 7= 在对应的齐次线性方程组二2+4中，取 X3= 2X4 上页

线性代数——第 4章 可见R(A) = R(B) = 2,故方程组有解,并有    = + = + + 2 1 2. 1 2, 3 4 1 2 4 x x x x x 0, 取x2 = x4 = , 2 1 则x1 = x3 = 即得方程组的一个解 . 0 1 2 0 1 2               =   在对应的齐次线性方程组 中,取 2 , 3 4 1 2 4    = = + x x x x x

线性代彭 第4章 (-0)-0 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 51= 100 52= 1021 上页 这回

线性代数——第 4章 , 1 0 0 1 4 2              =      及 x x , 2 1 0 1 3 1              =      则 及 x x 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 , 1 2 0 1 , 0 0 1 1 1 2               =                = 

线性代彭 第4章 于是所求通解为 二C1 +C2 1021 + 20120 (c1,c2∈R), 0 上页

线性代数——第 4章 于是所求通解为 ,( , ). 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 2 1 2 4 3 2 1 c c c c R x x x x                +               +               =              