《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）3-2逆矩阵

第 二 节 逆 矩 阵 卫 上页

第二节 逆 矩 阵

逆矩阵的概念和性质 1、 引入在数的运算中，当数a≠0时，有 a01=aa=1, 其中-为a的倒数，（或称a的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A, 使得 AA=AA-E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵 上页 回

1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、逆矩阵的概念和性质 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得 1、引入

2、定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B ,使得 AB=BA=E, 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A1. 例设46》-(1 AB=BA=E,.B是A的一个逆矩阵

定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵. 2

说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的， 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，即 B=C=A. 上页 这回

说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A

3、 伴随矩阵 定义行列式的各个元素的代数余子式 所 构成矩阵的转置。 A21 22 A22 A= 称为矩阵的伴随矩阵记为：A* 运算规律 (假定所有运算合法，A是矩阵，入R (1)(4)=(4) (2)(AB)=B*A 上页

1、定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成矩阵的转置. A Aij A      =         3、伴随矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵.记为:A* 2、运算规律 （假定所有运算合法， A B 是矩阵，   ） R （1）( A A ) ( )    =  （2）( AB B A )    =               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A11 A12 A1n A21 A22 A2n A n1 A n2 A nn

定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0，且 A 其中A为矩阵A的伴随矩阵 证明若A可逆，即有A使AA=E. 故AA=|E=1,所以A≠0. 回

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1  = A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1  = = − 故 A A E 所以A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 

当 411A1+42A2+.+41mA2n=0 AA 021022 上页

当A  0时,                             =  n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ana1A11nA111++ana212AAn212++++aann1n AAnn1n ==AA ,               = A A A A O O  11 21 12 22 1 2 0 n n a A a A a A + + + =

A4=AA=AE今AA=A AA A-E, 按逆矩阵的定义得 A-4 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时，A称为奇异矩阵当A≠0时，A称为 非奇异矩阵 由此可得4是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵 上页 回

AA = A A = AE   A E, A A A A  A = =   . 1 A A A  − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A  时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵

推论 若AB=E(或BA=E),则B=A1 证明 A·B=E=1,故A≠0， 因而A存在，于是 B=EB=（AAB=A'(AB) -AE-A 证毕 逆矩阵的运算性质 ()若A可逆，则A亦可逆，且(4'=A. 上页

A  B = E = 1, 故 A  0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质 A E −1 = 1 A − =

(2)若A可逆，数2≠0，则24可逆，且 -八 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (A少B士A 证明 (AB)B-A-)ABB-)4- =AEA=AA=E, (AB)=B-14-1 上页 这回

( ) 2 若A可逆,数  0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( ) ( ) −1 −1 −1 −1 AB B A = A BB A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1  AB = B A 证明 ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A  