《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§4.3 非齐次线性方程组

§4.3非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

§4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

·、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 11X1+12X2+.+41mXn=b1, 21七1+22X2+.+42mXn=b2,， amx+am2x2+.+amnxn =bm 012 1n 022 . 令A= X2 D, ,X= ,b= Qn2

一、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                  11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n n n mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b                                                 令

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 41X1+a12X2+.+41mXn=0, 021x1+22X2+.+42mxn=0, m1+0m2七2+.+0mmXn=0. 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x                  ， 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 性质4.3.1设x=7和x=7,是方程组(4-1)的解，则x=71 -72是对应的齐次线性方程组(4-5)的解 证明 .A1=b,A72=b ∴.A(71-72)=b-b=0. 即x=η1-72满足方程Ax=0. 性质4.3.2设x=7是方程组(4-1)的解，x=是方程组 (4-2)的解，则x=7+5是方程组(4-1)的解

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 证明   0.  A 1 2  b  b  0. 即x 1 2满足方程Ax   A1  b, A2  b (4 2) , (4 1) . 4.3.2 (4 1) , 的解 则 是方程组 的解 性质 设 是方程组 的解 是方程组            x x x - (4 5) . 4.3.1 (4 1) , 2 1 2 1 是对应的齐次线性方程组 的解 性质 设 和 是方程组 的解 则       x  x  x 

证明A(5+n)=A5+An=0+b=b, 所以x=5+η是方程Ax=b的解 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知(4-1)的任一解x总可以表示为 x=5+n 其中5是(4-5)的解，n是(4-1)的一个解。 又若方程组(4-5)的通解为 5=k51+k52+.+k,5n 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

证明 A   A  A  0  b  b, 所以x    是方程 Ax  b的解. 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知 (4-1)的任一解x总可以表示为 * * (4 5) (4 1) x       其中 是   的解， 是 的一个解. 又若方程组(4-5)的通解为 1 1 2 2 n r n r     k k k      则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

x=k151+k252+.+kn-,5m-,+7 而由性质4.32可知，对任何数k1,k2,km- 上式总是方程(4-1)的解， 1.于是方程组(4-1)的通解为 x=k51+k52+.+km-,5m-,+7 其中51,52，5n-,是(4-5)式的基础解系， k1,k2,kn,为任意数，n是(4-1)的特解

上式总是方程(4-1)的解, * 1 1 2 2 n r n r x k k k           而由性质4.3.2可知,对任何数 1 2 , , , n r k k k   1 2 , , , n r    其中   是(4-5)式的基础解系, * 1 1 2 2 n r n r x k k k           1.于是方程组(4-1)的通解为 1 2 , , , n r k k k   为任意数, (4 1) .  * 是  的特解

2.例题1.求解方程组 X1+X2-3x3-x4=1, 3x1-x2-3x3+4x4=4, x1+5x2-9x3-8x4=0. 解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 [11-3-1113-3r「11-3 -11 A- 3- 1-3 44 0-4 6 71 15-9 -803-104-6 -7-1

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1, 3 3 4 4, 5 9 8 0. x x x x x x x x x x x x                  2.例题1.求解方程组 1 1 3 1 1 3 1 3 4 4 1 5 9 8 0 A                  2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 ~ 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 r r r r                   解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形

「11-3 -1 1 3 3 5 5+2 0 1 3 01 7 1 2 4 3 7 1 5x-300000 2 4 4 01 2 -4 00 0 0 0 于是得与原方程组同解的方程组 3 5 x3 2 X4= 4 3 7 1 2 2 4 4

3 2 2 1 1 3 1 1 3 7 1 ~ 0 1 244 1 ( ) 0 0 0 0 0 4 r r r                   1 2 3 3 5 1 0 2 4 4 3 7 1 ~ 0 1 244 0 0 0 0 0 r r                  于是得与原方程组同解的方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 , 2 4 4 x x x x x x            

3 3 5 X1= 尤4+ 即 2 4 3 7 1 ×2 2 4 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 3 3 2 4 3 51= 7 52= 1 0 0 1

1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 . 2 4 4 x x x x x x            即 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 3 2 3 2 1 0                     2 3 4 7 4 0 1                    

取x3=X4=0 5-4 原方程组的一个特解 7= 14 因此，原方程组的通解为 4 5-4 =k1 3-2 +k2 7-4 + 1 0 140 0】 0 其中k,k,为任意数

取 x x 3 4   0 原方程组的一个特解 * 5 4 1 4 0 0                      1 2 1 2 3 4 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 1 0 0 0 1 0 x x k k x x                                                                        因此,原方程组的通解为 其中k1 ,k2为任意数