《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第一节微分方程的基本概念

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第一节 微分方程的基本概念 一、引例 二、基本概念

第一节微分方程的基本概念 一、引例 引例1一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程. y=x2+( 解设所求曲线方程为y=y),则有 dy =2x, dx y==2. 由①得y=「2xdx=x2+C(C为任意常数)， 由②得C=1, 因此所求曲线方程为y=x2+1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 y = x +C 2 x y O 一、引例 引例1一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有 2 , d d x x y = ① (C为任意常数)， 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y = x + 2 . y x=1 = ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解

第一节微分方程的基本概念 引例2列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动 时获得加速度a=-0.4m/s2,求制动后列车的运动规律， 解设列车在制动后t秒行驶了s米，即求s=s(①. d2s 已知 d =-0.4, ds so=0,di1=0 =20 由前一式两次积分，可得s=-02t2+C,t+C2, 利用后两式可得 C1=20,C2=0, 因此所求运动规律为 s=-0.2t2+20t.」 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 引例2列车在平直路上以 的速度行驶,制动 时获得加速度 求制动后列车的运动规律. 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米, 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 0.2 , 1 2 2 s = − t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 0.2 20 . 2 s = − t + t 解 即求 s = s (t)

第一节微分方程的基本概念 二、微分方程的基本概念 1.微分方程 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程， 叫做微分方程。例如， dy=2x(引例)， d 片041别2 y4-4y"'+10y"-12y'+5y=sin2x, 都是微分方程.注意：微分方程中一定要含有导数， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 二、微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程， 叫做微分方程． x x y 2 d d = (引例1), (引例2), y (4) -4y+10y-12y+5y = sin2x , 都是微分方程. 注意：微分方程中一定要含有导数. 例如

第一节微分方程的基本概念 2.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数， 叫做微分方程的阶.例如， dy=2x (引例1)， 一阶 dx 二阶 d2 =-0.4(引例2)， y"5+x4y"-xy'+y=1, 三阶 y4-4y"'+10y"-12y'+5y=sin2x,四阶 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数. x x y 2 d d = (引例1), (引例2), (y) 5+x 4 y-xy+y 7 = 1 , y (4) -4y+10y-12y+5y = sin2x , 一阶 二阶 三阶 四阶 叫做微分方程的阶． 例如

第一节微分方程的基本概念 n阶微分方程的一般形式 Fx,y,y,.,Jm)=0. 注意：上式中ym必须出现，而其它的变量则可以不出 现.例如，ym=1. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 n 阶微分方程的一般形式 F(x , y , y , . , y (n) ) = 0 . 注意：上式中 y (n) 必须出现，而其它的变量则可以不出 现. 例如， y (n) = 1

第一节微分方程的基本概念 3.微分方程的解 使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解； 如果解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同，则称之为通解；不含任意常数的解称之 为特解 例如在引例2中，s=-0.2t2+C1t+C2是微分方程 d:=0.4的通解，而s=-022+201是特解， d s=-02t2+Ct也是解，但它既不是通解也不是特解， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 3. 微分方程的解 使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解； 如果解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同，则称之为通解； 不含任意常数的解称之 为特解. 例如在引例2中， 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 是微分方程 的通解，而 s 0.2 t 20 t 2 = − + 是特解， s = − t +C t 2 0.2 也是解，但它既不是通解也不是特解

第一节微分方程的基本概念 4.初始问题 为了求出微分方程的特解，需要给定一些条件，这 条件称之为初始条件；求微分方程满足初始条件的特 解这样一个问题叫做初始问题.例如两个引例 dy d2s =-0.4 dx s-0=0, ds yx1=2, dt t=0 =20 都是初始问题， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 4. 初始问题 为了求出微分方程的特解，需要给定一些条件，这 条件称之为初始条件； 求微分方程满足初始条件的特 解这样一个问题叫做初始问题. 例如两个引例 2 , d d x x y = 2 , y x=1 = 0 , s t=0 = 都是初始问题

第一节微分方程的基本概念 5.积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线，称之为微分方程 的积分曲线 y=x s=0.2t2+Ct+C2 引例1的积分曲线 引例2的积分曲线 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 微分方程的基本概念 5. 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线，称之为微分方程 的积分曲线. 引例1的积分曲线 引例2的积分曲线 y = x +C 2 x y O 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C t s O

第一节微分方程的基本概念 例验证函数x=C coskt+C2 sinkt(C1,C2为常 数)是微分方程 +x=0的通解，并求满足初始条件 d2x dx -0=A,di1=0=0的特解 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 第一节 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念 解 例 验证函数 数)是微分方程 x C cos kt C sin k t = 1 + 2 2 2 d d t x 的通解, 并求满足初始条件 , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 2 2 d d t x C k sin kt 2 − 2 ( cos sin ) 1 2 2 = −k C kt +C kt , 2 = −k x 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . C k cos kt 2 = − 1 0 2 + k x = (C1 例 验证函数 , C2 为常 数)是微分方程 的通解, 并求满足初始条件 , x t=0 = A 的特解 . (C1 , C2 为常 0 d 0 d = t t = x