《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换

第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩

第二章 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩

§2.1消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式

§2.1 消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程. 引例求解线性方程组 2x1-X2+2x3=4 x1+X2+2x3=1 (1) 4x1+2+4x3=2 解： 1+x2+2x3=1 (1) ①→② {2x1-x2+2x3=4 (2) 4x1+x2+4x3=2

引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 1 (1) 4 4 2 x x x x x x x x x               1  2 (1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 4 (2) 4 4 2 x x x x x x x x x               解：

X1+x2+2x3=1 -2①+② -3x2-2x3=2 (3) -4①+3 +3x2-4x3=-2 X1+x2+2x3=1 -②+③ -3x2-2x3=2 (4) -2x3=-4 x1+x2 =-3 -③+② ③+① -3x2 =6 (5) -2x3 =-4

- 2 + 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 2 2 (4) 2 4 x x x x x x               - 3 + 2 3 + 1 1 2 2 3 3 3 6 (5) 2 4 x x x x              1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 (3) 3 4 2 x x x x x x x                -2 1 + 2 -4 1 + 3

1②+① x1=-1 1 ② 七2=-2 1 ③ 北3=2 2 说明： 1.在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 (1)交换方程次序； (2)以不等于0的数乘某个方程； (3)一个方程加上另一个方程的k倍

2 1 3 2 1 + 3 1 3  1 2  1 2 3 1 2 2 x x x           说明： 1. 在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．

以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是，加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组. 2.上述三种变换都是可逆的. 若)交(B,则(B)0(A 若(A)面Xk(B,则(B)①÷k(4店 若A+k(B,则(B(A. 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组

2.上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j  k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i  k 则(B) (A); i  k 则(B) (A).  k j i 以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是,加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组

3.因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算，因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 定义2.1.1由m×n个数(i=1,2,.,mj=1,2,.,n) 排成的m行n列的数表 11 012 A= l21 22 : : m2

3. 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算,因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 由 m n 个数 m n a i m j n ij 定义2.1.1  1,2,  , ;  1,2,  , 排成的 行 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a             

称为m×n矩阵.简称mxn阵. 说明： (I)a,为A的第行第列元素 (2)a是实数，A为实矩阵，a,是复数，A为复矩阵。 (3)与行列式的区别 (4)矩阵记为A=An=(a)=(a) (⑤)矩阵的行数和列数相等时，称矩阵A为方阵 例如 [ 是一个2×4实矩阵

(3)与行列式的区别 (1)aij为A的第i行第j列元素 (2)aij是实数, A为实矩阵,aij是复数, A为复矩阵。 称为 mn 矩阵.简称 mn 阵. 说明： (4)    . ij m n A  Am n  aij  a  矩阵记为  (5)矩阵的行数和列数相等时,称矩阵A为方阵. 例如 1 0 3 5 9 6 4 3        是一个 24 实矩阵

13 6 2i 2 2 2 是一个3阶方阵 2 22 例如，一般元线性方程组 411X1+a12七2+.+41mXn=b1 21X1+22大2+.+42mXn=b2 (8) 0●●e0●●●00●●●000●●●●e0●●●00●●●000●●●●e●00●● mXi+m2七2+.+mnXn=bm

13 6 2 2 2 2 2 2 2  i         是一个3 阶方阵. 例如，一般n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . (8) . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                   

的未知量的系数可以用矩阵A=(a,)xm 来表示， 此时称A为方程组的系数矩阵， 411412a13 a21 a22 23 A= 。 a31a32 a33 a3n 方程组的系数和常数项可以用一个m×(n+l)矩阵 11 12 b A= L21L22 。 0m2 mn

此时称A为方程组的系数矩阵. ( ) 的未知量的系数可以用矩阵 A a  ij m n 来表示，              n n n a a a a a a a a a a a a A 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1         方程组的系数和常数项可以用一个 m n   ( 1) 矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b                     