《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）5-2方阵的特征值与特征向量

第二草交阵的持征值与持征向量 一特征值与特征向量 二特征值和特征向量的幽质 三应周举例 四小结

课前复习 1、内积 [a,B]=aB=ab+abz+.+a,b 2、长度 lal=V[a,a个]=Va2+a,2+.an 3、正交 [&,B]=0 5、施密特（Schmidt)正交化法 6、正交矩阵AA=E(即A=) 内积不变 正交变换的优良特性：长度不变 夹角不变

课前复习 １、内积   1 1 2 2 . n n     , = = + + +  a b a b a b ２、长度   2 2 2 1 2 , n    = = + + a a a 3、正交  , 0  = ５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵 ( ) 1 A A E A A , −   = = 即 正交变换的优良特性： 内积不变 夹角不变 长度不变

一、} 特征值与特征向量的概念 定义A为n阶方阵，为数，5为n维非零向量 若 Ax=Ax （1) 则称为A的特征值，x称为A的特征向量 。 注① 特征向量x≠0，特征值问题只针对与方阵： ② 入，x并不一定唯一； ③ 阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (2E-A)x=0有非零解的值，即满足 2E-A=0 的都是方阵A的特征值. 定义； 称以为未知数的一元n次方程2E-A=0 为A的特征方程

一、特征值与特征向量的概念 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，  为ｎ维非零向量， 若 Ax x =  则λ称为Ａ的特征值， x 称为Ａ的特征向量． （１） 注 ② , x 并不一定唯一； ③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 ① 特征向量 x  0 ，特征值问题只针对与方阵； (E A x − = ) 0 有非零解的λ值，即满足 的λ都是方阵Ａ的特征值． E A − = 0 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A − = 0 为Ａ的特征方程．

定义称以为变量的一元n次多项式f4（2)=2E-A 为A的特征多项式 定理设n阶方阵A=(a)的特征值为入，12，元。 则(1①)22.元n=A; (2)元1+2+.+九n=41+22+.+0nn 证明①当21，几2，.，2，是A的特征值时，A的特征多项 式可分解为f(2)=2E-A=（2-)(2-2).(2-n) =元”-(21+2+.+2)2"-1+.+(-1)”12.n 令2=0，得仁A=（-1)22.2 即22.n=A

( ) A 定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A   = − 为Ａ的特征多项式． 1 2 11 22 (2) ; n nn    + + + = + + + a a a 1 2 (1) ;    n = A 定理 设ｎ阶方阵 A a = ( ij) 的特征值为 1 2 , , ,    n 则 证明① 当    1 2 , , , n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 f E A (  ) = − = − − − (      1 2 )( ) ( n ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n n n         n n − = − + + + + + − 令  = 0, 得 −A ( ) 1 2 1 n = −    n 即 1 2 .    n = A

证明②因为行列式 2-011 一l12 一1n 2E-A= 一L21 2-022 一l2n : -Qn2 A-ann 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 (2-a)(2-2z)(2-anm） 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含·2个主对角线上的元素，因此，特征多项式中 含入”与入-的项只能在主对角线上元素的乘积项中 故有2E-A=见”-(4+2+.+am)1+.+ 比较①，有21十九2+.+九n=411+22++0

证明② 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 (   − − − a a a 11 22 )( ) ( nn ) E A− 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素， 含   n n 与 −1 的项只能在主对角线上元素的乘积项中． ( ) 1 11 22 n n    E A a a ann − 故有 − = − + + + + + 比较①，有 1 2 11 22 . n nn    + + + = + + + a a a 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a    − − − − − − = − − − 因此，特征多项式中

定义方阵A的主对角线上的元素之和称为方阵A的迹， 记为r(A)=∑am=∑2： 二、特征值和特征向量的性质 推论1n阶方阵A可逆分A的n个特征值全不为零， 若数为可逆阵的A的特征值， 推论2！ 则入为A的特征值 推论3则k为k的特征值 推论4 则A2为A的特征值 推论5 则2"为A的特征值. 特别 单位阵E的一个特征值为1

定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 ( ) . ii i tr A a = =   二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 推论２ 则  −1 为 的特征值． 1 A − 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 推论４ 则 A  −1 为 A  的特征值． 推论５ 则  m 为 A m 的特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．

例1：求 3 的特征值和特征向量， 解：A的特征多项式为： 4-2E=3133 3-2-1=(3-02-1 =8-62+22=(4-)(2-) 所以，该方阵4的特征值为：21=2,22=4. 当1=2时，对应的特征向量应满足： (32-0 即 X1-X2=0 求得基础解系为 -1+x2=0 故特征值21=2对应的特征向量为： x=kp k≠0

  − − − − 1 3 3 1 例1: 求       − − 1 3 3 1 的特征值和特征向量. 解: A的特征多项式为: = (3–) 2 –1 所以, 该方阵A的特征值为: 1 = 2, 2 = 4. , 0 0 1 3 2 3 2 1 2 1        =            − − − − x x 当 1 = 2 时, 对应的特征向量应满足:    + = − = − 0 0 1 2 1 2 x x 即 x x 故特征值1=2对应的特征向量为: = 8 – 6 +  2 =(4 – )(2 – ) 求得基础解系为 1 1 1 p   =     1 x kp k =  0 A E − = 

当21=4时，对应的特征向量应满足： 即 JX1+X2=0 (X1+x2=0 求得基础解系为P,= 故特征值22=4对应的特征向量为： x=迎2，k≠0 注：由于特征方程A-2E1=0,故齐次方程组(4-E)x =0有非零解.因此，求出特征值入对应的基础解系即可求 出所有特征向量

   + = + = 0 0 1 2 1 2 x x x x 2 x kp k =  , 0 即 故特征值2=4对应的特征向量为: 注: 由于特征方程| A–E | = 0, 故齐次方程组(A–E)x = 0 有非零解. 因此, 求出特征值i 对应的基础解系即可求 出所有特征向量. , 0 0 1 3 4 3 4 1 2 1        =            − − − − x x 当 1 = 4 时, 对应的特征向量应满足: 求得基础解系为 2 1 1 p   =     −

例2：求矩阵A= -4 的特征值和全部特征向量 1 02 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. -1-λ 1 0 A-λE= -4 3-λ 0 =0 1 0 2-2 即 (2-2)(2-1)2=0 特征值为2=2,22=23=1 第二步：对每个特征值入代入齐次线性方程组 A-九E)x=0,求非零解

解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例2： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −      A E − =  1 1 0 4 3 0 0 1 0 2    − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − =   特征值为 1 2 3    = = = 2, 1 第二步：对每个特征值  代入齐次线性方程组 ( A E x − =  ) 0, 求非零解。 即

当21=2时，齐次线性方程组为(A-2E)x=0 系数矩阵 -3 1 0 100 (A-2E)= -4 10 01 0 10 0 0 0 自由未知量：X3 X1=X2=0 令x3=1得基础解系：卫1= 00 ∴.k1P1(k1≠0常数)是对应于2=2的全部特征向量

当 1 = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = 2 0 ) 系数矩阵 ( ) 3 1 0 2 4 1 0 1 0 0 A E   −   − = −      1 0 0 0 1 0 000   →         自由未知量: 3 x 1 2 x x = = 0 令 得基础解系: 3 x = 1 1 0 0 1 p     =       1 1 1   k p k( 0 常数)是对应于 1  = 2 的全部特征向量