《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_D7习题课（1）

司题裸（一） 第十二章 一阶微分方程的 解法及应用 阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章

一阶微分方程求解 一阶标准类型方程求解 四个标准类型：可分离变量方程齐次方程 线性方程，全微分方程 关键辨别方程类型，掌握求解步骤 2.一阶非标准类型方程求解 (1)变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2)积分因子法 选积分因子，解全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求下列方程的通解 0y+e*x=0 (2)xy=Vx2-y2+y: )y=2x- 6x3+3xy 3x2y+2y3 提示：(1)因e+x=ee,故为分离变量方程 -y2e->dy=e*dx 通解 ger-e'+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2  + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy  = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y −  = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + +  = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)xy'=Vx2-y2+y 方程两边同除以x即为齐次方程，令y=x,化为分 离变量方程 x>0时y=1-(+一=1- x<0时，y=-1-( →x=-V1-22 (3)y= 2x-y2 调换自变量与因变量的地位，化为 用线性方程通解公式求解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 下页返回结

方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy  = x − y + y 2 2 (2) x  0时， 2 xu  = 1− u 2 xu  = − 1− u ( ) x y x y y  = − + 2 1 ( ) x y x y y  = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y −  = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(4)y= 6x3+3xy2 3x2y+2y 方法1这是一个齐次方程.令u=Y 方法2化为微分形式 (6x3+3xy2)dx+(3x2y+2y3)dy=0 o0 Oy 故这是一个全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + +  = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P   = =    6

例2.求下列方程的通解 (1)xy+y=y(Inx+Iny) (2)2xInxdy+y(y2Inx-1)dx=0 (3)y=3x2+y2-6x+3 2xy-2y (4)y2(x-3y)dx+(1-3xy2)dy=0 提示：(I)原方程化为(xy)'=yln(xy) 令u=xy,得 du=lnu (分离变量方程) dx (2)将方程改写为 dy l 2、 (贝努里方程) 令2=y2 dx 2xInx 2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求下列方程的通解: (1) xy  + y = y (ln x + ln y ) 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (2) 2 ln d ( ln 1)d 0 2 x x y + y y x − x = xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − +  = (4) ( 3 )d (1 3 )d 0 2 2 y x − y x + − xy y = u x u x u ln d d = x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 − = − (贝努里方程) −2 令 z = y (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3)y=3x+2-6x+3 2xy-2y 化方程为 dy_3x-12+y2 dx 2y(x-1) 令1=x-1,则 dy dydt dy dx didx di dy_32+y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut 可分离变量方程求解 HIGH EDUCATION PRESS DeC8 机动目录上页下页返回结束

令 y = u t xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − +  = 2 ( 1) 3( 1) d d 2 2 − − + = y x x y x y (齐次方程) t y t y t y 2 3 d d 2 2 + = 令 t = x – 1 , 则 t y x t t y x y d d d d d d d d = = 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(4)y2(x-3y)dx+(1-3xy2)dy=0 变方程为y2xdx+dy-3y2(dx+xdy)=0 两边乘积分因子4=y2 xdx+y2dy-3(ydx+xdy)=0 用凑微分法得通解 22-y1-3w=C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(4) ( 3 )d (1 3 )d 0 2 2 y x − y x + − xy y = 变方程为 y xdx dy 2 + 两边乘积分因子 −2  = y d d 3( d d ) 0 2 + − + = − x x y y y x x y 用凑微分法得通解: x −y − xy = C − 3 2 1 2 1 3 ( d d ) 0 2 − y y x + x y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设Fx)=f(x)gx),其中函数儿x),gx)在(-oo,+o) 内满足以下条件：f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0, f(x)+g(x)=2ex. (1)求Fx)所满足的一阶微分方程； (2)求出Fx)的表达式 (03考研) 解：(1)F'(x)=f'(x)8(x)+f(x)8'(x) =g2(x)+f2(x) =[g(x)+f(x]-2f(x)g(x) =(2e)2-2F(x) 所以Fx)满足的一阶线性非齐次微分方程： HIGH EDUCATION PRESS

例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f (x) = g(x), g (x) = f (x), 且 f (0) = 0, (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (03考研) 解: (1)  F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) ( ) 2 2 = g x + f x [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 = g x + f x − f x g x (2 ) 2 ( ) 2 e F x x = − 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e

F'(x)+2F(x)=4e2x (2)由一阶线性微分方程解的公式得 F(x)=e-J2[4ex2dx+C] =e-2x[[4e4x dx+C] e2x Ce-2x 将F(0)=f0)g(0)=0代入上式，得C=-1 于是 F(x)=e2x -e-2x HIGH EDUCATION PRESS

机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 F x e  e e x C  x x x =  +    − ( ) 4 d 2d 2 2d e  e x C  x x = +  − 4 d 2 4 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式，得 C = −1 于是 x x F x e e 2 2 ( ) − = − x F x F x e 2 ( ) + 2 ( ) = 4 x x e Ce 2 −2 = +