《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章定积分_第五节反常积分审敛法、Γ函数

第五节反常积分的审敛法T函数 一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、厂函数 上页 下页 返回 MatheS 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、函数

第五节反常积分的审敛法「函数 、无穷限反常积分的审敛法 定理1设函数fc)在区间[a,+o)上连续，且f) ≥0.若函数 F(x)=["f(t)dr 在区间[a,+o)上有上界，则反常积分f(x)d收敛 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 一、无穷限反常积分的审敛法 定理1 设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x)  0 .  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a , +) 上有上界，  + a f (x)dx 收敛. 若函数 则反常积分 *第五节 反常积分的审敛法  函数 证明 定理1 设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x)  0 .  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a , +) 上有上界，  + a f (x)dx 收敛. 若函数 则反常积分 因为区间 [a , +) 上 F(x) = f (x)  0 , 所以 F(x) 是单调增函数，又因为F(x)在[a , +) 上有上界， 故F(x)在[a , +) 上是单调有界的函数. 按照“[a , +) 上 的单调有界函数F(x)必有极限” 的准则，可知极限  →+ →+ = x a x x F(x) f (t)dt lim lim 存在，也即  + a f (x)dx 收敛. 证毕

第五节反常积分的审敛法T函数 定理2（比较审敛原理）设函数fx),gx)在区间 [a,+o)上连续.如果在区间[a,+oo)上 (①)0≤fe)≤ge),并且g(x)dr收敛，则 f也收敏； (2)0≤g)≤f),并且g(x)dr发散，则 fr也发散 证明之 上页 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 定理2(比较审敛原理) 设函数 f (x) , g (x)在区间 [a , +) 上连续. (1) 0  f (x)  g (x)，并且  + a g(x)dx 收敛， 也收敛； 如果在区间[a , +) 上 则  + a f (x)dx (2) 0  g (x)  f (x)，并且 发散， 也发散. 则  + a f (x)dx  + a g(x)dx *第五节 反常积分的审敛法  函数 证明 (1) 0  f (x)  g (x)，并且  + a g(x)dx 收敛， 也收敛； 则  + a f (x)dx (2) 0  g (x)  f (x)，并且 发散， 也发散. 则  + a f (x)dx  + a g(x)dx 设 0< t < +，由 0  g (x)  f (x) 及  + a g(x)dx 收敛，得  t a f (x)dx   t a g(x)dx ( )d .  +  a g x x 由此可知函数  = t a F(x) f (x)dx 在 [a , +) 上有上界， 由定理1即知反常积分  + a f (x)dx 收敛

第五节反常积分的审敛法T函数 定理3（比较审敛法1）设函数fw)在区间[a,+o) (a>0)上连续，并且fx)≥0. (1)如果存在常数M>0及p>1,使得 f(x)sM (a≤x0,使得 f(x)≥ (a≤x<+o) 则反常积分 f(x)dx发散. 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 定理3(比较审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +) (a > 0)上连续，并且 f (x)  0 . (1) 如果存在常数 M > 0 及 p > 1，使得 ( )  (a  x  +) , x M f x p 则反常积分  收敛； + a f (x)dx (2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 ( )  (a  x  +) , x N f x 则反常积分 发散.  + a f (x)dx

第五节反常积分的审敛法T函数 定理4极限审敛法1)设函数fx)在区间[a,+oo) (a>0)上连续，并且fx)≥0. (1)如果存在常数p>1,使得limxf(x)存在， X→+00 则反常积分f(x)dr收敛； (2)如果lim(x)=d>0或lim(x)=+o X>+00 X→+00 则反常积分f(x)dx发散. 证明 上页人下 返回Math6公式 线与面数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 定理4(极限审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +) (a > 0)上连续，并且 f (x)  0 . (1) 如果存在常数 p > 1，使得 ( ) limx f x p x→+ 则反常积分  收敛； + a f (x)dx (2) 如果 则反常积分 发散.  + a f (x)dx 存在， ( ) 0 lim =  →+ x f x d x 或 ( ) , lim = + →+ x f x x *第五节 反常积分的审敛法  函数 证明 (1) 如果存在常数 p > 1，使得 ( ) limx f x p x→+ 则反常积分  收敛； + a f (x)dx 存在， 设 ( ) . limx f x c p x = →+ 由极限的定义，存在充分 大的 x1 (x1  a , x1 > 0)，当 x > x1 时，必有 |x p f (x) – c| < 1 , 0 x p f (x) < 1 + c , 于是在区间 x1 < x < + 内有不等式 . 1 0 ( ) p x c f x +   由比较审敛法1知  + 1 ( )d x f x x 收敛. 而 ( )d ( )d ( )d , 1 1    + + = + x x a a f x x f x x f x x 故  + a f (x)dx 收敛

第五节反常积分的审敛法T函数 dx 例1判定反常积分 3x4+1 的敛散性， 解 +0 例2判定反常积分 dx 2 的敛散性： xv1+x 解 邓判定反带积分 dx的敛散性， 解 上页 下页 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 例1 判定反常积分  + + 1 3 4 1 d x x *第五节 反常积分的审敛法  函数 解 例1 判定反常积分  + + 1 3 4 1 d x x 的敛散性. 因为 , 1 1 1 1 0 4 3 3 4 3 4 x x x  = +  根据比较审敛法1知，该反常积分收敛. 例2 判定反常积分  + + 1 2 1 d x x x *第五节 反常积分的审敛法  函数 解 例2 判定反常积分  + + 1 2 1 d x x x 的敛散性. 由于 2 2 1 1 lim x x x x +  →+ 1 1 1 2 lim + = →+ x x =1, 根据极限审敛法1知所给反常积分收敛. 例3 判定反常积分  + 1 + 2 3 2 d 1 x x x 的敛散性. 的敛散性. 的敛散性. *第五节 反常积分的审敛法  函数 解 由于 2 3 2 1 lim x x x x +  →+ 根据极限审敛法1知所给反常积分发散. 例3 判定反常积分  + 1 + 2 3 2 d 1 x x x 的敛散性. 2 2 1 lim x x x x + = →+ = +

第五节反常积分的审敛法T函数 +00 arctan x 例4判定反常积分 dx的敛散性 X 解之 定理5设函数fx)在区间[a,+o)上连续. 如果反 常积分If(x)川dx收敛，则反常积分Tf(x)dx也 收敛。 定理5中的这种收敛称为绝对收敛， 上页 下页 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 例4 判定反常积分  + 1 d arctan x x x 的敛散性. *第五节 反常积分的审敛法  函数 解 由于 x x x x arctan lim  →+ 根据极限审敛法1知所给反常积分发散. x x arctan lim →+ = , 2 π = 例4 判定反常积分  + 1 d arctan x x x 的敛散性. 定理5 设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续. 如果反 常积分  + a | f (x)| dx 收敛，则反常积分  + a f (x)dx 也 收敛. 定理5中的这种收敛称为绝对收敛

第五节反常积分的审敛法T函数 例5判定反常积分esin bxdx(a>O)的敛散性， 解 上页 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 例5 判定反常积分 e sin d ( 0) 0   + − bx x a ax 的敛散性. *第五节 反常积分的审敛法  函数 解 由于 | e sin | e , ax ax bx − −  例5 判定反常积分 e sin d ( 0) 0   + − bx x a ax 的敛散性. 而  + − 0 e dx ax 收敛， 根据比较审敛原理知，反常积分  + − 0 | e sin bx | dx ax 收敛. 由定理5知所给反常积分收敛，且为绝对收敛

第五节反常积分的审敛法T函数 二、无界函数的反常积分的审敛法 由上节例6知，反常积分 rb dx Ja (x-a)9 当0<q<1时收敛，当q≥1时发散.于是有下面两个 关于瑕积分的审敛法： 上页 下页 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 二、无界函数的反常积分的审敛法 由上节 *第五节 反常积分的审敛法  函数 证明 当 q = 1 时， 例6 证明反常积分  − b a q x a x ( ) d 所以当 0< q <1 时收敛，当 q  1 时发散. 当 q  1 时发散.  − b a q x a x ( ) d  − = b a x a dx b a a = [ln( x − )] = +. 当 q  1 时，  − b a q x a x ( ) d b a q q x a       − − = − 1 ( ) 1      +     − − = − , 1. , 0 1, 1 ( ) 1 q q q b a q 知，反常积分 当 0< q <1 时收敛， , ( ) d  − b a q x a x 当 0< q <1 时收敛，当 q  1 时发散. 于是有下面两个 关于瑕积分的审敛法：

第五节反常积分的审敛法T函数 定理6（比较审敛法2）设函数fx)在区间(a,b1上 连续，且fx)≥0，x=a为f)的瑕点. (1)如果存在常数M>0及q0,使得f(x)≥ (a<x≤b) x-a 则反常积分 f(x)dr发散. 返回 公式 线与面 数学家

*第五节 反常积分的审敛法  函数 定理6(比较审敛法2) 设函数 f (x) 在区间 (a , b] 上 连续，且 f (x)  0 , x = a 为 f (x) 的瑕点. (1) 如果存在常数 M > 0 及 q 0 ，使得 ( ) (a x b) , x a N f x   −  则反常积分  b a f (x)dx 发散