《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）1.4克拉默法则

1.4克拉默法则 Cramer's Rule 4wL(LLL 山东理工大学数学系王玉田

1 . 4 克拉默法则 C r a m e r ’ s R u l e 山东理工大学数学系王玉田

目录/ contents 01 克拉默法则 02 相关定理和应用 03 小结

01 02 03 目 录 / contents 克拉默法则 相关定理和应用 小结

克拉默法则 定义 01火1+4122+.+01nXn=b1 设线性方程组 021X1+2X2+.+2m心n=b2 () m火1+0n2x2+.+0nmXn=bn 若常数项b,b2,bn不全为零，则称此方程组为 非齐次线性方程组； 若常数项b1,b2,.,bn全为零，此时称方程组为 齐次线性方程组 n阶行列式

n 阶行列式 克拉默法则 定 义 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为 非齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为 齐次线性方程组

克拉默法则 方程组()可简写为 axj=b,i=1,2,.,n 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 in D= L21 42 @2n 称为方程组(1)的系数行列式 n阶行列式

n 阶行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式. 1 1,2, , n ij j i j a x b i n =  = = 方程组(1)可简写为 克拉默法则

◆克拉默法则 定理（克拉默法则） 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，那么线性方程 组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程组右端 的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 41.0AHb41.0n D .0Hb。0n.0m n阶行列式

n 阶行列式 克拉默法则 定理（克拉默法则） 其中𝐷𝑗是把系数行列式D中第 j列的元素用方程组右端 的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即 n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠ 0，那么线性方程 组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为 𝑥1= 𝐷1 𝐷 , 𝑥2= 𝐷2 𝐷 , 𝑥3= 𝐷3 𝐷 ,⋯ ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝐷𝑛 𝐷

克拉默法则 证明：用D中第列元素的代数余子式4，A,.,Aw 依次乘方程组(1)的n个方程，得 (au+ax:++aux)4=b4 (a21k1+22x2+.+a2nxn）Aj=b2A (anx+an2xz++amxn)An bAw 再把以上方程依次相加，得 g小++会4小*+{会小 =24, n阶行列式

n 阶行列式 证明： ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 再把以上方程依次相加，得 , 1 1 1 1 1 1     = = = = =        + +       + +      n k k kj n n k j kn kj n k kj kj n k k kj b A a A x  a A x  a A x 克拉默法则

◆ 克拉默法则 由代数余子式的性质可知，上式中除X;的系数等于D, 其余x,(i≠) 的系数均等于0，而等式右端为D, 于是 Dx,=D,0=1,2,.,n) (2) 当D≠0时，方程组(2)有唯一的一个解 出=合=合=合成=8 由于方程组(2)与方程组(1)等价，所以 D 也是方程组的(1)解。 n阶行列式

n 阶行列式 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j n) j j = = 1,2,  , D D x D D x D D x D D x n = , = , = , , n = 2 3 2 2 1 1  于是 (2) 当 D  0 时,方程组(2)有唯一的一个解 上式中除了 xj 的系数等于D, 其余 x (i j) i  的系数均等于0，而等式右端为 Dj 由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以 , , , , . 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = =  n = 也是方程组的(1)解。 克拉默法则

克拉默法则 %11x1+012X2+.+41mxn=b1 421X1+422X2+.+2mXn=b2 (1) an比1+an2x2+.+ArnXn=bn 结论1.如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它 的系数行列式必为零 2.克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组. 3.它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及 常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值， n阶行列式

n 阶行列式 结论1.如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它 的系数行列式必为零. (1) 3.它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及 常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值. 2.克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组. 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 克拉默法则

相关定理和应用 二、齐次线性方程组的相关定理 当b,b2,bn全为零时，对应的齐次方程为 auX1+02X2+.+41nXn=0 021X1+022X2+.+02mXn=0 (2) ax+ax++ax=0 显然，齐次线性方程组一定有解， X1=X2=.=Xn=0 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解 n阶行列式

n 阶行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     1 2 , ., n 当b b b ， 全为零时，对应的齐次方程为 1 2 . 0 n x x x = = = = 显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解. 相关定理和应用

◆相关定理和应用 推论 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0， 则齐次线性方程组只有零解 如果齐次线性方程组有非零解， 则其系数行列式必为零 如果齐次线性方程组系数行列式为 零，则齐次线性方程组必有非零解 n阶行列式

n 阶行列式 相关定理和应用 如果齐次线性方程组的系数行列式𝐷 ≠ 0， 则齐次线性方程组只有零解. 推 论 如果齐次线性方程组有非零解， 则其系数行列式必为零. 如果齐次线性方程组系数行列式为 零,则齐次线性方程组必有非零解