《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-7 无穷小比较

第七节 无穷闪的比轻 引例.x→0时，3x,x2,sinx都是无穷小，但 .2 limX兰 sin x =0 lim x→03x x->0 3x lim sinx =0 x→0 可见无穷小趋于0的速度是多样的

x  0 时, 3 x , x , sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 0  0 , 2 0 sin lim x x x   , x x x 3 sin lim 0 , 3 1  但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较

定义.设《，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1im =0，则称B是比Q高阶的无穷小，记，作 a 阝=o(a) 若lim E =o,则称B是比a低阶的无穷小： C 若lim B =C≠0，则称B是α的同阶无穷小 若lim =C≠0，则称B是关于a的k阶无穷小 若1imP=l,则称B是a的等价无穷小，记作a~B 或B~a

lim  C  0, k   定义. lim  0,  若  则称  是比  高阶的无穷小,   o( ) lim  ,   若 若 若 lim 1,   若  ~   ~  lim  C  0,   或 设  ,  是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是比  低阶的无穷小; 则称  是  的同阶无穷小; 则称  是关于  的 k 阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作

例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinxx; tan x~x arcsinxx 又如， 2 2sin lim 1-cosx 1 lim x>0 x-→0 4()1 2 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosxx2

例如 , 当  o( ) ～ x  0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x   2 2 0 2sin lim x x  又如 ， 2 2 4( ) x 2 1  故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1  cos x 2 2 1 ～ x 且

例1.证明：当x→0时，1+x-1x 证：lim /1+x-1 x>0 I x n a”-b"=(a-b)(a"-+a"-2b+.+bm-1) =lim 1+xP1分子= x→0 2x[(1+xy+(1+x)y-2++1] =1 .当x→0时，1+x-1一1x n

例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～   n n a b (a  b) 1 ( n a a b n2  ) 1   n  b

例2.证明：e-1~x 证：令y=ex-l,则x=ln(1+y),且x→0时，y→0， 因此 e*-l lim=lim lim x→0 y→0n(l+y)y→01ln(1+y） 1 lim = 即有等价关系：e-I~x 说明：上述证明过程也给出了等价关系： In(1+x)~x

例2. 证明: 证: 因此 即有等价关系: 说明: 上述证明过程也给出了等价关系:

常用等价无穷小：当x→0时， Sinx≈x, arcsinxx, tanx~x, arctan x~x, In(1+x)~x,e*-1~x,1-cosxx +x-1 2 1+x-1~x (1+x)2-1~0x 说明：1.上述10个等价无穷小必须熟练掌握 2.将x换成Vo(x)→0都成立

常用等价无穷小: 当x 0 , 时 2 sin ~ , arcsin ~ , tan ~ , arctan ~ , 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ , 2 x x x x x x x x x    x x e x x x 1 1 1 ~ , 2   x x 1 1 1 ~ , n x x n   (1 ) 1~ α   x αx 说明： 1. 上述10个等价无穷小必须熟练掌握 2. ( ) 0 将x换成  φ x 都成立

定理1.aB三阝=a+o(a）) 证：a~B三lim 2=1 1im(-1)=0,即lim -=0 之 阝-a=o(a),即B=a+o(a） 例如，x→0时，sinxx,tan xx,故 x→0时，Sinx=x+o(x),tanx=x+o(x)

～ ～ 定理1.     o( ) 证: lim  1   lim( 1)  0,   lim  0     即     o( ), 即     o( ) 例如, x  0 时, ～ tan x ～ x , 故 x  0 时, tan x  x  o( x)

定理2.设a~a,B~B,且1im月 存在，则 lim B lim a a 证： lim lim x B =lim lim lim lim 例如， lim tan 2x 2x 2 lim x→0s1n5x x→05x 5

定理2 . 设 且 存在 , 则   lim 证:   lim           lim           lim     lim   lim      lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim 0 x x x 5 2 lim 0  5 2 

说明：设对同一变化过程，α，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算 注意： 1、乘积项等价无穷小放心用： 若a~B,且p(x)极限存在或有界，则 lim ap(x)=lim Bo(x) 例如， lim arcsin x.sin=lim x.sin-=0 x-→0 Xx→0 2、和差项等价无穷小需谨慎：

说明: 设对同一变化过程 ,  ,  为无穷小 , 无穷小的性质, 由等价 可得简化某些极限运算. 1、乘积项等价无穷小放心用： 若  ~  , 且  ( x) 极限存在或有 界, 则 lim  ( x)  lim  ( x) 例如, 0 1 lim sin 1 lim arcsin sin 0 0       x x x x x x 2、和差项等价无穷小需谨慎： 注意:

2、和差项等价无穷小需谨慎： (1)和差取大规则：若B=o(),则a±B~a 例如，lim sinx =lim *>0x3+3x x→03x 3 (2)和差代替规则：若a~a',B~B'且B与a不等价， 则a-B~a'-g,且lim-形=lim '-B1 Y tan 2x-sinx 2x-x 例如，lim lim =2 x>0 1+x-1 x→0 注意a~B时需将a-B化成等价的形式再计算

(1) 和差取大规则: 若  = o() , (2) 和差代替规则: 若 α ~ , ~ , α   β β 且 β 与 α 不 等 价 则   ~      , 例如, x x x x 3 sin lim 3 0  x x x 3 lim 0  3 1  则   ~  lim lim .            且 注意 α ~ β 时需将α-β化成等价的形式再计算。 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0     x x x x x x x x 2 1 0 2 lim     2 2、和差项等价无穷小需谨慎：