《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-1 微分中值定理

第三章 微分中值定理 与导数的友用 罗尔中值定理 推广 中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题

第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用

第一有 中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理

一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理

一、罗尔(Rolle)定理 费马(fermat)引理 y口f(x) 且f(x)口f(xo),∫)存在 =→f0)0 (或□) 政U)/w.Y 则fx)口1im O0)口fxo) x0 0x [fxo)☐0(Cx00P) →f4)口0 fx)a0(Cx口0) 证毕

费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 证: 设 则 费马 证毕

罗尔(Rolle)定理 y口f(x)满足： y口f(x (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 a (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点口，使f回口0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)口M,x□[a,b] 因此口口□(a,b),f□口0

罗尔( Rolle )定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点

若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等， 不妨设M口f(a),则至少存在一点口口(a,b),使 f(口)口M,则由费马引理得f口□0 注意： 1)定理条件条件不全具备，结论不一定 成立例如 0口x▣1 f(x)0 f(x)回x f(x)口x x▣1 x口[口，1] x口[0,1] 在[0,1]不连续 在(01)不可导 f(0)目f(1)

若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 例如

罗尔定理的几何意义： 如果曲线段y=f(x(x1[a,b是连续不断的、光滑的， 且两端纵坐标相等，则该曲线段在[α，b]上至少有一条 水平切线 yf(x 罗尔定理常用来做中值等式的证明： a b x 导函数和高阶导函数零点的存在性证明，形如 Gc,fx),fx)=0.没有端点信息

如果曲线段 是连续不断的、光滑的， 且两端纵坐标相等，则该曲线段在 上至少有一条 水平切线. 罗尔定理的几何意义： 罗尔定理常用来做中值等式的证明： 导函数和高阶导函数零点的存在性证明，形如 没有端点信息

例1.证明方程x☐5x□1口0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性 设f(x)口x3□5x□I,则f(x)在[0,1]连续，且 f(0)口1，f1)口B.由零点定理知存在x,口(0,1)，使 f()口0，即方程有小于1的正根 2)唯一性 假设另有x1口(0,1)，x口x,使f(x)□0，口f(x)在以 ,为端点的区间满足罗尔定理条件，口在x。,x之间 至少存在一点口，使f口口0， 但fx)□5(x4□1)☐0，x口(0,1)，矛盾，故假设不真！

例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设

例2.设f(x)在[0,1]连续，(0,1)可导，且f(①)口0， 求证存在口口(0,1)，使 证：设辅助函数 显然 在[0,1]上满足罗尔定理条件 X/ 因此至少存在☐口(0,1)， 使得 口0

求证存在 使 例2. 设 在 连续， 可导，且 证: 设辅助函数 因此至少存在 显然 在 上满足罗尔定理条件, 使得

二、拉格朗日中值定理 y☐f(x) y口f(x)满足： fb)f(a b□a (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 >至少存在一点口口(a,b),使 证：问题转化为证 尺向只几门 作辅助函数 口(x)cf)ofb)0fa)】 b☐a 显然，☐(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 (a)bf(a)af(b) 口口(b),由罗尔定理知至少存在一点 b☐a 口口(a,b),使口口☐0，即定理结论成立.证毕

二、拉格朗日中值定理 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 拉氏 证毕

拉格朗日中值定理的几何意义：∫@口b)口/a b□a 如果曲线段y=f(x)xi[a,b]是连续不断的、光滑的， 且除端点外处处具有不垂直于横坐标轴的切线，则该 曲线段在（α，b)上至少有一点，使曲线在该点处的切线与 两端点的连线（弦）平行 应用拉格朗日中值定理常用来做三方面的应用： (0)证明含有中值的摔式<了的 形如G(a.b.f(af(b)x))=0，含有端点信息。 (2)不等式的证明。0a口 b x (3)函数的形态：有界性

如果曲线段 是连续不断的、光滑的， 且除端点外处处具有不垂直于横坐标轴的切线，则该 曲线段在 上至少有一点,使曲线在该点处的切线与 两端点的连线（弦）平行. 拉格朗日中值定理的几何意义: 应用拉格朗日中值定理常用来做三方面的应用： (1) 证明含有中值的等式： 形如 ，含有端点信息。 (2) 不等式的证明。 (3) 函数的形态：有界性