《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-3 齐次方程

第三节 第七章 齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程的方程

齐次方程 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程的方程 第七章

一、 齐次方程 形如 必) 的方程叫做齐次方程 dx 解法令u☐士，则yx,d du dx du 代入原方程得 口□(u) dx du dx 分离变量 ☐(u)☐u X d u d x 两边积分，得 积分后再用上代替u, 便得原方程的通解

一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量:

例1，解微分方程y中上Otan 解：令u☐>，则y四u口x5代入原方程得 u☐xu▣u☐tanu COS u du dx 分离变量 sin u 两边积分 d 此处C口0 sin u 得 In sinu□lnx□lnC, 即sinu☐Cx 故原方程的通解为sn'口Cx (C为任意常数)》 (当C=0时，y=0也是方程的解)

例1. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处

例2.解微分方程(y2☐2xy)dx☐x2dy☐0. 解：方程变形为少口22以自，令u口上 dx 2 则有 W☐xu①2u☐u2 du 分离变量 dx 即01上au0o4 u2☐u OOn x OIn C, 即 x(u☐1) 积分得 代回原变量得通解 x(y口x)口Cy(C为任意常数) 说明：显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解，但在 求解过程中丢失了

例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 作业

*二、可化为齐次方程的方程 dyaxby口c (e2☐c2☐0) dxa1xbyc1 1.当4☐时，作变换x☐X口h,yOY□k(h,k为待 a 定常数)，则dx口dX,dy口dY,原方程化为 dY ax Oby ah☐bkac dY aX□bY□ah■bkc1 { ,解出h,k aX Cbr (齐次方程 a1X☐bX

( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数)

求出其解后，将X口x口h,Y口y口k代入，即得原方 程的解 2.当9 口☐时，原方程可化为 a b ax☐by☐c dx (ax□by)Oc1 令vaxby,则业a d x dx dv □a□b (可分离变量方程 dx Ov□c 注：上述方法可适用于下述更一般的方程 ofDaxbye1(c2c7a0) dy dx a1x□b1yc1

求出其解后, 即得原方 程的解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程

d x▣y☐4 例3.求解 dx x□y☐6 dY X□ 令x口X□1，y□Y□5，得 dXXO亚 再令Y=Xu,得 1□u dX 1☐u X 积分得 arctanu☐gln(1☐u2)☐lnCX 代回原变量，得原方程的通解

例3. 求解 解: 令 得 再令 Y＝X u , 得 令 积分得 代回原变量, 得原方程的通解:

y5 arctan x Ol 利用yxm口心得C=1,故所求特解为 arctan)E5) x☐12 思考：若方程改为 dyxy ,如何求解？ dxx☐y☐ 提示：令v口x口y

得 C = 1 , 故所求特解为 思考: 若方程改为 如何求解? 提示:

作业 P314 1(1),(4),(6);2(2),(3);

作业 P314 1 (1), (4), (6) ; 2 (2), (3) ;