《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）试题参考_线性代数——习题参考答案

部分习题参考答案 习题一 1.(1)s=3,奇排列： (2)5=9,奇排列： （3)5=m+》,当n=4k4k.1时，偶排列，当n=4h.24秋.3时，奇推列 2.(1)i=6,k=4: (2)i=1,k=4 3.(1)带负号：(2)带正号：(3)带正号. 4.(1)5:(2)20:(3)3abc-a3.b.c3 (4)8: (5)14:(6)←1)1？ml. 5.2x;-x3. 6.由行列式定义知，该行列式的展开式中有一项是(a1~(a2”)(a~),而其他 项至多是关于1的n-1次多项式，所以该行列式是关于1的n次多项式. 7.(1)-10:2)2-元：(3)8：(4)(x-a(a-bb-x(x+a+b): (5)-3:(6)160:(7)0:(8)5. 9.(10ab+cd+ad+abcd+l:(2)-72:(3)1-a+a2-ad3+a.a: (4)a°+(1)b: a-道04 6+x道 (7)(a2.b2r: (8)6(n-3l: (9)a2b2:(10)←1)(n+1)0a, 10.(1)x=3,x2=-2x3=2: (2)x=2,x=-3x=-2: 284

284 部分习题参考答案 习题一 1.（1） s = 3 ，奇排列； （2） s = 9 ，奇排列； （3） ( 1) 2 n n s + = ,当 n k k = - 4 ,4 1 时，偶排列，当 n k k = - - 4 2,4 3 时，奇排列. 2.（1） i k = = 6, 4 ； （2） i k = = 1, 4 . 3.（1） 带负号；（2）带正号；（3）带正号. 4.（1） 5； （2） 20； （3） 3 3 3 3abc a b c - - - ； （4） 8； （5） 14； （6） 1 ( 1) ! n n + - ? . 5. 4 3 2 ; x x - . 6. 由行列式定义知，该行列式的展开式中有一项是 11 22 )( ) ( ) nn （a - - - λ a λ a λ ,而其他 项至多是关于  的 n−1 次多项式，所以该行列式是关于  的 n 次多项式. 7. （1）-10； (2) 2− ； （3） 8； (4) ( )( )( )( ) x a a b b x x a b - - - + + ； （5）-3； （6） 160； （7）0； （8）5. 9. （1） ab cd ad abcd + + + + 1 ； （2） -72； （3） 2 3 4 5 1- + - + - a a a a a ； （4） 1 ( 1) n n n a b + + - ； （5） 0 1 1 1 ( ) n n i i i i a a = a = - å Õ ； （6） 1 1 n n n i i x x a - = + å ； （7） 2 2 ( )n a b - ； （8） 6( 3)! n- ； （9） 2 2 a b ； （10） 1 ( 1) ( 1) n n i i n a = - + Õ . 10.（1） 1 2 3 x x x = = - = 3, 2, 2 ； （2） 1 2 3 x x x = = - = - 2, 3, 2 ；

(3)x=a,x2=b,x=c: (4)x=x3=1,x=x=.1. 11.(1)k12: (2)k11. 12.(1)k=4,-1: (2)k=0,-3. 13.(a+1)2=4b. 14(1)x=.3=V5=V5:(2)x=a,x=b,3=c: (3)x=y=z=0. 15.f(x)=5x(x-),x=0或x=1. 16.24. 习题二 14187 (311-1 1.(1)-25-25日 (2)-40-40 2165) （-1-3-3-5 (35) 2.(1)03: 2)6 49 (3)+2an+2++2a+a: (369 (4)10: (5)246 123 (-906 (006 3.1)-600 2)-300 （-609 -600 比较(1)与(2)的结果，可得出(A+B(A-B)≠A-B2

285 （3） 1 2 3 x a x b x c = = = , , ； （4） 1 2 3 4 x x x x = = = = - 1, 1. 11.（1） k ¹ 2 ； （2） k ¹ 1. 12.（1） k = - 4, 1 ； （2） k = - 0, 3. 13. 2 ( 1) 4 a b + = . 14.（1） 1 2 3 x x x = - = = - 3, 3, 3 ； （2） 1 2 3 x a x b x c = = = , , ； （3） x y z = = = 0 . 15. f x x x ( ) 5 ( 1) = - , x = 0 或 x = 1. 16. 24． 习题二 1．（1） 14 13 8 7 2 5 2 5 2 1 6 5     − −       ； （2） 3 1 1 1 4 0 4 0 1 3 3 5   −   − −       − − − − ． 2．（1） O3 3 ； （2） 35 6 49           ； （3） 2 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3 33 3 a x a x x a x x a x a x x a x + + + + + 2 2 2 ； （4） 10 ； （5） 3 6 9 2 4 6 1 2 3           ． 3．（1） 906 600 6 0 9   −   −       − ； （2） 0 0 6 3 0 0 600     −       − ． 比较（1）与（2）的结果，可得出 2 2 ( )( ) A B A B A B + −  − ．

5.证A+1=A+A4=A(Ln+A=An+A=-山n+A=-kLn+A) =-Ln+A,则A+I=0. 6.证A,B为n阶对称矩阵，则A=A,B=B AB是对称矩阵台(AB)=AB白BA=AB台BA=AB. 7.a=(1,-1,1),aa=3. 8.3 3-1-1 9w年 (2)-421 -101 1.证由=A,两边取行列式，得4=4→A=0或A=1.若4=0，则A不 可逆：若A=1,由A=A,得A(A-)=0,两边同时左乘A得A厂A(A-)=A0, 则A=I. 12.证(1)(A-310(A+)=1,则A-31可逆，且(A-3)=A+1: 2)A4=1,则A可逆，且4=4D -2 -2

286 4． 5 1 3 803 2 1 2           − − ． 5．证 ( ) ( ) T T T T T T A I A AA A I A A I A I A I A + = + = + = + = − + = − + n n n n n = − + n I A ，则 0 A I + = n ． 6．证 A B, 为 n 阶对称矩阵，则 T A A = ， T B B= ． AB 是对称矩阵  ( )T AB AB =  T T B A AB =  BA AB = ． 7． (1, 1,1)T α = − ， 3 T α α = ． 8．3 k ． 9．（1） 1 4 2 2 3 1   − −     − ； （2） 3 1 1 4 2 1 1 0 1   − −   −       − ； （3） 111 1 1 0 1 0 1   −−−         ； （4） 1 2 1 1 1 n a a a       ． 10． 16 125 ． 11．证 由 2 A A = ，两边取行列式，得 2 A A A =  = 0 或 A =1 ．若 A = 0 ，则 A 不 可逆；若 A =1 ，由 2 A A = ，得 A A I O ( ) − = ，两边同时左乘 −1 A 得 1 1 ( ) − − A A A I A O − = ， 则 A I = ． 12．证 （1） ( 3 )( ) A I A I I − + = ，则 A I −3 可逆，且 1 ( 3 )− A I A I − = + ； （2） ( ) 2 − = − A I A I ，则 A 可逆，且 1 ( ) 2 − − = − A I A ．

13. o 14.52 00.0 0.00 &m(06 (2) 0 .00 00. 0 周 -16 .自：习 19.(1)3:(2)3. 20.k=-3. 21.)=4-4. =-3x+3x: (2)无解： =2, (3){x2=3 x=1

287 13． 1 1 0 6 6 1 2 0 3 3 1 0 0 2                 ． 14．52． 15．（1） 1 1 − −       O B A O ； （2） 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 n n a a a a −       ． 16． 9 3 8 2 7 3   −   −       − ． 17． 6 5 9 16 7 13 2 2     −     −     −   ． 18． 5 1 2 2 3 1 2   −       − − ． 19．（1）3；（2）3． 20． k =−3． 21．（1） 1 3 4 2 3 4 4 4 , 3 3 ; x x x x x x  = −   = − + （2）无解； （3） 1 2 3 2, 3, 1. x x x  =   =   =

习题三 1.v=(30,-10.-20,-16) 2.a=1,b=-l,c=-2 3.(1)可以，B=2a-a-3a (2)可以，B=-11a+14a2+9a: (3)不可以： 4可以，B=3a+a-a-a 4.证明略.B=(-b)a+(,-b)a2+(6-b)a+b,a 5.(1)错：(2)错：(3)错：(4)错. 6.(1)线性无关：(2)线性相关：(3)线性相关：(4)线性相关：(5)当a,b,c互不相同 时，线性无关：当a,b,c中有两个相同时，线性相关 7.a=3. 8.(1)当a≠2时，a,4,a,a,线性无关： (2)当a=2时，a,a,a线性相关，并且r(a,a,a,a）=3. 9.(1)线性无关：(2)线性无关：(3)线性相关. 10.不是，是线性相关. 11.证因为在R”中，n+l个向量a,a,.,a,B必线性相关，又由已知%，a,.,a线 性无关，则向量B可以由它线性表示，且表达式唯一 12.证必要性.因为a,a2,a,线性相关，故存在一组不全为零的数k,k,.,k,使 ka+ka+.+k,a,=0. (1) 不妨设k≠0，k1=.=k,=0,则式(1)变成ka+k4++k8=0,于是得 6》会小飘可标11保 i=1,有ka=0,而k≠0，于是a=0,与条件矛盾，故1>1) 288

288 习题三 1． ν = − − − (30, 10, 20, 16) ． 2． a b c = = − = − 1, 1, 2 ． 3．（1）可以， 1 2 3 β = − − 2 3 α α α ； （2）可以， 1 2 3 β = − + + 11 14 9 α α α ； （3）不可以； （4）可以， 1 2 3 4 5 1 1 1 4 4 4 4 β = + − − α α α α ． 4．证明略. β = − + − + − + (b b b b b b b 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 4 )α ( )α ( )α α ． 5．（1）错；（2）错；（3）错 ；（4）错． 6．（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性相关；（4）线性相关；（5）当 abc , , 互不相同 时，线性无关；当 abc , , 中有两个相同时，线性相关． 7． a = 3． 8．（1）当 a  2 时， 1 2 3 4 α , , , α α α 线性无关； （2）当 a = 2 时， 1 2 3 4 α , , , α α α 线性相关，并且 r(α1 2 3 4 , , , 3 α α α ) = ． 9．（1）线性无关；（2）线性无关；（3）线性相关． 10．不是，是线性相关． 11．证 因为在 n R 中， n+1 个向量 1 2 , , , , α α αn β 必线性相关，又由已知 1 2 , , , α α αn 线 性无关，则向量 β 可以由它线性表示，且表达式唯一． 12．证 必要性. 因为 1 2 , , , α α αs 线性相关，故存在一组不全为零的数 1 2 , , , s k k k ，使 1 1 2 2 . s s k k k α + + + = α α 0 （1） 不妨设 0 i k  ， 1 0 i s k k + = = = ，则式（1）变成 1 1 2 2 i i k k k α + + + = α α 0 ，于是得 1 1 1 1 i i i i i k k k k − −     = − + + −         α α α ，即 αi 可由 1 2 1 , , , α α αi− 线性表示，其中 1 i s （若 i =1 ，有 1 1 k α = 0 ，而 1 k  0 ，于是 α1 = 0 ，与条件矛盾，故 i 1 ）．

充分性.因为a可以由a,42,.,a1线性表示，即存在k,k,.,k1，使 a=ka+ka+.+ka,当然也有 a=k4+k343+.+k0-+0a1+.+0a, 这表明a,可由其余向量线性表示，可知，么，么，a,线性相关. 13.证设r(a,a,a,)=(a,a,)=r，不妨设，a2,.,a,就是向量组 a,a2,.,a,的一个极大无关组，则由条件知a,42,.,a,也应是向量组a,2,a,B的 一个极大无关组，于是B可以由a,a2,.,a,线性表示，当然B就可以由a,a2,.,a,线性 表示。 14。证由已知，n维基本向量组云，62，.，6n可由a,么，.，a,线性表示，反之当然有 a,4,a,可由无，62，.，￡n线性表示，于是两个向量组等价，等价的向量组有相同的秩。 即r(a,，.，a)=(,.,8)=n,因而a,.,线性无关 15.(1)r=2:(2)r=2:(3)r=2:(4)r=3. 16.1=2,a,42 17.k=(5,7,-4) 2交a2 习题四 -2 1.(1)X=k+k,其中 0 721 0 289

289 充分性 . 因 为 αi 可以由 1 2 1 , , , α α αi− 线 性 表 示 ， 即 存 在 1 2 1 , , , i k k k − ， 使 i i i 1 1 2 2 1 1 k k k α = + + + α α − − α ，当然也有 1 1 2 2 1 1 1 0 0 i i i i s k k k α = + + + + + + α α − − + α α α ， 这表明 αi 可由其余向量线性表示，可知， 1 2 , , , α α αs 线性相关． 13. 证 设 r r r (α1 2 1 2 , , , ( , , , , ) α αs s ) = = α α α β ，不妨设 1 2 , , , α α αr 就是向量组 1 2 , , , α α αs 的一个极大无关组，则由条件知 1 2 , , , α α αr 也应是向量组 1 2 , , , , α α αs β 的 一个极大无关组，于是 β 可以由 1 2 , , , α α αr 线性表示，当然 β 就可以由 1 2 , , , α α αs 线性 表示． 14．证 由已知， n 维基本向量组 1 2 , , , n ε ε ε 可由 1 2 , , , α α αn 线性表示，反之当然有 1 2 , , , α α αn 可由 1 2 , , , n ε ε ε 线性表示，于是两个向量组等价，等价的向量组有相同的秩， 即 r r n (α1 2 1 2 , , , ( , , , ) α αn n ) = = ε ε ε ，因而 1 2 , , , α α αn 线性无关． 15．（1） r = 2 ；（2） r = 2 ；（3） r = 2 ；（4） r = 3． 16．t = 2， 1 2 α ,α ． 17． (5,7, 4) T k = − ． 18． 2 3 1 1 1 1 , , , , T n i i i i i i a a a a = = =   =     k    ． 习题四 1．（1） 1 1 2 2 X = + k k η η ，其中 1 2 2 1 1 0 , 0 0 0 1     −         = =             η η ；

4 (2)X=k,其中” 1 3)X=k+k,+,其中=0= 0 0 (4)仅有全零解，不存在基础解系. 2.当a=-1或a=?时有非零解： 当a=-1时，基础解系：=(（-l,l,),通解为X=k,其中k∈R: 当a=子时，基础解系：4=(10，-19,8y,通解为X=,其中5∈R。 3.(1)是：(2)不是 (-1 2 1 0 -2 4.(1)X=6+k,+k4,6=-1= 4,2= 2 0 0 0 3 3 (2)X=。+k,6 0 -2 (3)无解： (4)X=+k4+k2 9 1 01 5.当a≠1且a≠-2时，方程组有唯一解： 290

290 （2） 1 1 X = k η ，其中 1 4 9 4 3     −   =       η ； （3） 1 1 2 2 3 3 X = + + k k k η η η ，其中 1 2 3 1 7 4 1 0 0 0 4 7 , , 0 5 0 0 0 5       −             = = =                               η η η ； （4）仅有全零解，不存在基础解系． 2．当 a =−1 或 7 2 a = 时有非零解； 当 a =−1 时，基础解系： 1 ( 1,1,1) T η = − ，通解为 1 1 X = k η ，其中 1 k  R ； 当 7 2 a = 时，基础解系： 2 (10, 19,8) T η = − ，通解为 2 2 X = k η ，其中 2 k  R ． 3．（1）是；（2）不是． 4．（1） 0 1 1 2 2 X = + + η k k η η ， 0 1 2 1 2 1 0 4 2 1 4 2 , , 0 1 0 0 0 1       − −       −       = = =       − −                         η η η ； （2） 0 1 1 X = + η k η ， 0 1 2 3 3 3 , 0 1 2 2     −     −     = =             − η η ； （3）无解； （4） 0 1 1 2 2 X = + + η k k η η ， 0 1 2 2 1 9 11 11 11 10 5 1 , , 11 11 11 0 1 0 0 0 1       − −                   = = = −                         η η η ． 5．当 a 1 且 a −2 时，方程组有唯一解；

当a=1时，方程组有无穷多组解，其通解为 1-1-1 +k1+k0 (k,k∈R): (001 当a=-2时，方程组无解。 6.当九≠1且1≠-2时，方程组有唯一解：当1=-2时，方程组无解 当1=1时，方程组有无穷多组解，且其通解为 -2 -1-1 x=0 +1+k0 (k.k ER). 001 7.(1)方程组(I):=(-1,1,0,1),42=(0,0,10)': 方程组(1)：=(1,1,0，-)，=(-1,0,11)： (2)X=k(-1,1,2,1)(k∈R). 8.证法一因为任一个维向量都是齐次线性方程组的解，因而基本向量组必是它的一个 基础解系，齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数为n-T(4),因而有n=n-T(4) 得r(4A)=0,于是A=0,即a,=0i=l.,sj=l,n 证法二因为基本向量组中向量是齐次线性方程组的解，将名，=(,0，.，0)'代入方程 组中每个方程式可得a1=0,i=1,2,.,5.同理可得a=0(1=1,.,Sj=1,.,n川) 9.证由题中条件r<n知，原齐次线性方程组有基础解系.设功，.，以，是一个基础 解系，而a,4,.,a均是齐次线性方程组的解，则每一个解a,都可由儿，2，.1，线性 表示，于是r(a,a,.,a）≤r(,2,.,),故有r(a,a,.,a)≤n-r 10.证由条件，有 ka+ka+.+ka=(1-k-.-k,)a+ka+.+ka =a+k(a2-a)+.+k,(a,-a)

291 当 a =1 时，方程组有无穷多组解，其通解为 1 2 1 2 ( ) 1 1 1 0 1 0 , 0 0 1 k k k k       − −       = + +                    X R ； 当 a =−2 时，方程组无解． 6．当     − 1 2 且 时，方程组有唯一解； 当  =−2 时，方程组无解； 当  =1 时，方程组有无穷多组解，且其通解为 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 0 1 0 , 0 0 1 k k k k       − − −       = + +                    X R ． 7．（1）方程组（Ⅰ）： 1 2 ( 1,1,0,1 , 0,0,1,0 ) ( ) T T η = − = η ； 方程组（Ⅱ）： 1 2 (1,1,0, 1 , 1,0,1,1 ) ( ) T T η = − = − η ； （2） ( 1,1,2,1) ( ) T X R = −  k k ． 8．证法一 因为任一个 n 维向量都是齐次线性方程组的解，因而基本向量组必是它的一个 基础解系，齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数为 n r − (A) ，因而有 n n r = − (A) ， 得 r(A) = 0 ，于是 A O= ，即 a i s j n ij = = = 0 1, , ; 1, , ( )． 证法二 因为基本向量组中向量是齐次线性方程组的解，将 1 (1,0, ,0) T ε = 代入方程 组中每个方程式可得 1 0, 1,2, , i a i s = = . 同理可得 a i s j n ij = = = 0 1, , ; 1, , ( )． 9．证 由题中条件 r n  知，原齐次线性方程组有基础解系. 设 1 2 , , , η η ηn r − 是一个基础 解系，而 1 2 , , , α α αt 均是齐次线性方程组的解，则每一个解 αi 都可由 1 2 , , , η η ηn r − 线性 表示，于是 r r (α1 2 1 2 , , , , , , α αt n r )  (η η η − ) ，故有 r n r (α1 2 , , , α αt)  − ． 10．证 由条件，有 k k k k k k k 1 1 2 2 2 1 2 2 α + + + = − − − + + + α t t t t t α (1 )α α α = + − + + − α1 2 2 1 1 k k (α α ) t t (α α )

由于%是线性方程组的解，而a一么，.，a,-么是它的导出组的解，因而 k(a,-a)++k(a-a)也是导出组的解，故a+k(a,-a)++k(a-a)必是 原线性方程组的解，即ka+k风2++k,a,必是原线性方程组的解 11.证若两个齐次线性方程组只有全零解，则r(A)=n,r(B)=n,于是r(4)=r(B) 若两个齐次线性方程组有非零解，则r(4)<n,r(B)<n,它们必有基础解系，不妨分别 设为男，2，1nr和51,52，.，5n国由条件知，2，.，n和51,52，.，5国必 等价，等价的向量组有相同的秩，则n-r(4)=n-r(B),即r(4)=r(B), (1)0) 2.X=%+-+) (k∈R) 4 (4 1 a+42+a3+a, a +a;+a 13. X=k a+a (kER)- 0 0 14.X=k(1,1.,1) 15.X=k(L,-2,1,0)+(1,1,1,1)(keR) 16.a-2,b-3: 通解X=(2,-3,0,0)+k(-2,1,1,0)/+k(4,-5,0,1)(k,k2eR) 习题五 1w4=4g=k0叭：名=6g-0叭： 292

292 由 于 α1 是线性方程组的解，而 2 1 1 , , α − − α αt α 是它的导出组的解，因而 k k 2 2 1 1 (α − + + − α ) t t (α α ) 也是导出组的解，故 α1 2 2 1 1 + − + + − k k (α α ) t t (α α ) 必是 原线性方程组的解，即 1 1 2 2 t t k k k α + + + α α 必是原线性方程组的解． 11．证 若两个齐次线性方程组只有全零解，则 r n r n (A B ) = = , ( ) ，于是 r r (A B ) = ( ) . 若两个齐次线性方程组有非零解，则 r n r n (A B )   , ( ) ，它们必有基础解系，不妨分别 设为 1 2 ( ) , , , n r − A η η η 和 1 2 ( ) , , , n r − B ξ ξ ξ . 由条件知 1 2 ( ) , , , n r − A η η η 和 1 2 ( ) , , , n r − B ξ ξ ξ 必 等价，等价的向量组有相同的秩，则 n r n r − = − (A B ) ( ) ，即 r r (A B ) = ( ) ． 12． 1 1 2 3 ( ) ( ) 1 0 1 2 4 2 3 2 4 4 k k k               = + − + = +                  X η η η η R ． 13． ( ) 1 2 3 4 234 3 4 4 1 1 1 1 1 0 a a a a a a a k k a a a     + + +     + +     = +      +                 X R ． 14． (1,1, ,1) T X = k ． 15． (1, 2,1,0 1,1,1,1 ) ( ) ( ) T T X R = − +  k k ． 16． a b = = − 2, 3 ； 通解 (2, 3,0,0 2,1,1,0 4, 5,0,1 , ) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) T T T X R = − + − + −  k k k k ． 习题五 1.（1） ( 0) 1 1 4, 1          −  = η = k k ； ( 0) 4 1 6, 2           = − η = k k ；

1 (2)=1=1k≠0：==2，=1k≠0)： (1 o (3)1=22==2,=k1+k0 (k,k不全为0)： 2 (4)=-2,”=2k≠0)：=1=1k≠0)： 2 -2 2) =4,1= -2k≠0)： 1 2）(-1 (5)=-1,=5(k≠0)：2==1,=k1+0 (k,k,不全为0： (0 (6)=4,1=k 0 0:=6,1=0 o 1 23.-+%-+景20：0 3.4:-2,4-4:-1,2,0:0. 4.1 (102) 8.(1)A可对角化，U= -2-21 299

293 （2） ( 0) 1 1 0 1, 1             = η = k k ； ( 0) 0 1 1 2, 2 3             =  = η = k k ； （3）          − +           = = = = 1 0 1 0 1 1 2, 1 2 3 1 2    η k k （ 1 2 k , k 不全为 0）； （4） ( 0) 2 2 1 2, 1             = − η = k k ； ( 0) 2 1 2 1, 2            −  = η = k k ； ( 0) 1 2 2 4, 3             = η = k − k ； （5） ( 0) 1 5 3 1, 1             = − η = k k ；          − +           = = = 1 0 1 0 1 2 1, 2 3 1 2   η k k （ 1 2 k , k 不全为 0）； （6） ( 0) 0 1 0 0 4, 1                 = η = k k ； ( 0) 1 0 0 0 6, 2                 = η = k k ； ( 0) 0 0 0 1 2, 3 4                 =  = η = k k . 2. −3，1， −1 ； ( +3)( −1)( +1) ； 2 , 2, 0 3 ； 40 . 3. 4； − 2, 4, − 4 ； −1，2，0；0. 4. 1. 8.（1） A 可对角化,           − − = 2 2 1 0 1 2 1 0 2 U ，使           = − 10 1 1 1 U AU ；