《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率论与数理统计第八次课

教学基本 指 标 教学课题 第二章第四节连续型随机变量及其概率密 课的 新知识课 (三种重要的连续型随机变量部分) 类型 教学重点 连续型随机变量密度函数的计算，三种 教学 连续型随机变司 连续型随机变量的分布及应用。 难点 密度函数的计算， 种连续型随机变量自 分布及应用。 教学要求 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态 布及其应用： 教 必 章 本 内容 常见连续型型随机变量的分布 1 )均匀分布X-U[a,];密度函数p(x)=b-a asxsb (0其他 (0 xb 例1设随机变量X在【2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试 求至少有两次观测值大于3的概率 解答略 煮动有Xe吉接数购行 [1-e"2 x20 分布函数Fx)= 10x<0

教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章第四节连续型随机变量及其概率密 度 （三种重要的连续型随机变量部分） 课的 类型 新知识课 教学重点 连续型随机变量密度函数的计算，三种 连续型随机变量的分布及应用。 教学 难点 连续型随机变量 密度函数的计算，三 种连续型随机变量的 分布及应用。 教学要求 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分 布及其应用； 教 学 基 本 内 容 常见连续型型随机变量的分布： 1) 均匀分布 X~U[a,b]；密度函数 p(x)=      1 b-a axb 0 其他 分布函数 F(x)=      0 xb 例 1 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试 求至少有两次观测值大于 3 的概率. 解答略 2) 指数分布 X~exp()；密度函数 p(x)=   e -x x0 0 x<0 分布函数 F(x)=   1-e -x x0 0 x<0

(某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿 命、动物的寿命等都服从指数分布) 例2设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为：2000的指数分布（单位 小时).求 (1)任取一只这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率。 (2)有一只这种灯管已经正常使用了600小时，求还能使用1000小时以上的概 率 解答略 正态分布X-N(u,G;密度函数px)归 1(t-)月 av2re 20 (-0<X<+) 分布函数Fx)= 正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线.对称轴为直线x=μ，y=0是它的水平 惭近线。标准正态分布N(0,1).它的分布函数W可查表得到，一般FW=X-当. 例3 己知X~N(0,1),求P{1.25≤X<2. 解答略。 引理若X-N4,G2,则Z=X-严、N0,. 重要结论 r阳xs-2 p(-a)=1-p(a)

（某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿 命、动物的寿命等都服从指数分布） 例 2 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000 的指数分布(单位: 小时).求 (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用 1000 小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了 600 小时,求还能使用 1000 小时以上的概 率. 解答略 3)正态分布 X~N(, 2 )；密度函数 p(x)= 1  2 e- (t-) 2 2 2 (-∞<x<+∞) 分布函数 F(x)= 1  2 - x e- (t-) 2 2 2 dt 正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线，对称轴为直线 x=，y=0 是它的水平 渐近线。标准正态分布 N(0,1)，它的分布函数 (x)可查表得到，一般 F(x)=( x-  )。 例 3 解答略。 重要结论 已知 X ~ N(0,1),求 P{1.25  X  2}. ~ ( , ), ~ (0,1). 2 N σ X μ X N μ σ Z − 引理 若 则 = { } . b μ a μ P a X b σ σ     − −   =  −           − = −  ( ) 1 ( ). a a

例4 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X(以°C计) 是一个随机变量，且X~N(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80°C的概率不 低于0.99，问d至少为多少？ 解答略

例 4. 解答略。 2 2 1 e d 1 2π x x + − − =  0.99, ? (2) 80 (1) 90, 89 . , ~ ( , 0.5 ). . , ( ) o 2 o o 低于 问 至少为多少 若要求保持液体的温度至少为 的概率不 若 求 小于 的概率 是一个随机变量 且 容器内 调节器整定在 液体的温度 以 计 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 d C d X X N d d C X C =