《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率第8次课

教学基 本指标 教学课题 第三章第二节边缘分布 课的类型新知识课 第四节随机变量的独立性 教学重点 边缘分布律，边缘概率密度 教学难点 边缘概率密 随机变量的相互独立性的判别 教学要求 利用联合分布律会求联合分布律：利用联合概率密度会求边缘概 率密度；会判别随机变量的独立性 教 学 基本内 容 一、边缘分布函数 定义3.6设F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数 则F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}令y→o,称 P{X≤x}=P{X≤x,Y<o}=F(x,o)为随机变量 (X,Y)关于X的边缘分布函数，记为Fx()=F(x,o). 同理令x→0，称 F,()=PY≤y=P{x<o,Y≤y=F(o,y)为随机 变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数. 二、二维离散随机变量的边缘分布律 定义3.7设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=x,Y=,}=P,j=1,2,.则(X,P)关于随机变量 X的分布律为 PiX=x}=PX=,y<m=2p,i=12,3, 通常，称为(X,Y）关于X的边缘分布律，记为P,即 p.=P{X=x}=∑pl2,3 (3.7)

教 学 基 本 指 标 教学课题 第三章 第二节 边缘分布 第四节 随机变量的独立性 课的类型 新知识课 教学重点 边缘分布律，边缘概率密度 随机变量的相互独立性的判别 教学难点 边缘概率密 度 教学要求 利用联合分布律会求联合分布律；利用联合概率密度会求边缘概 率密度；会判别随机变量的独立性 教 学 基 本 内 容 一、边缘分布函数 二、二维离散随机变量的边缘分布律

同理，(X,Y）关于Y的边缘分布律为 p,=P{W=y}=2P123. (3.8) 例1袋中装有2只白球和3只黑球，现连续摸球两次， 定义下列随机变量： X北套交包 「1第二次摸出白球 y一0第二次摸出黑球 分别就有放回摸球与无放回摸球两种方式，求X,Y) 的联合分布律和边缘分布律， 三、二维连续随机变量的边缘概率密度 定义3.8对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密 度为f(x,y),由于 r()=F(x,o)=∫[f(,)]am 知X是一个连续型随机变量，且其概率密度为 fx(x)=[f(x,yy (3.9) 称其为随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度 同理 f()=」f(x (3.10) 称随机变量(X,Y)关于Y的边缘概率密度 例2设二维随机变量(X,)具有概率密度 fx)=48.w0<r<1,r3<<r2 0 其它 求：X,Y的边缘概率密度。 四、随机变量的独立性

三、二维连续随机变量的边缘概率密度 四、随机变量的独立性

定义3.12若对于任意实数x,y,二维随机变量(X,Y) 都有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}(3.19) 则称随机变量X与Y是相互独立的. 由定义可见随机变量X与Y相互独立是指随机事件 {X≤x}与{Y≤}相互独立. 可以证明，当(X,Y)是离散型随机变量时，X与Y相 互独立的条件等价于对(X,)的所有可能取的数对 (),p(x=x.Y=y=P{x=x)P(Y= 即Pg=P,P 当(X,Y)是连续型随机变量时，X与Y相互独立的 条件等价于对任意的(x,y)有 f(x,y)=fx(x)f(y) 其中f(x,),(x)了(y)分别为(X,Y)的联合概 率密度和边缘概率密度】 例1：袋中有2只白球，3只黑球现进行无放回地摸球，定义 5=6禁交簧出 日装资接出自肤 求)（传，n)的联合分布 (2)5.n的边际分布 (3)5,n是否相互独立？ [解华，的联合分布与边际分布为 0 DE 3/10 3/10 6/10 3/10 1/10 4/10 6/10 4/10 因为 p(0.0)=3/10-p:0plO)=9/25 所以5与n不独立

例 1：袋中有 2 只白球，3 只黑球,现进行无放回地摸球，定义：  =    1 第一次摸出白球 0 第一次摸出黑球 =    1 第二次摸出白球 0 第二次摸出黑球 求:(1)（，）的联合分布； （2）， 的边际分布； （3）， 是否相互独立？ [解]:(,)的联合分布与边际分布为 0 1 p 3/10 3/10 6/10 3/10 1/10 4/10 6/10 4/10 因为 p(0,0)=3/10p(0)p(0)=9/25 所以  与  不独立