《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率第14次课

教学基 本指标 教学课题 第六章6.4参数的点估计 课的类型新知识课 教学重点 矩估计和最大似然估计 教学难点 最大似然估 估计量的无偏性有效性 教学要求 了解矩估计与最大似然估计的概念，会求一个未知参数的矩估计量与最 似然估计量，会判断估计量的无偏性、有效性 教 基 衣 内 容 一、点估计 定义6.4： 设总体X的分布已知，但其中有一未知参数0 ,X,X2,.,Xn是来自总体X的样本，2，.，x 为相应的样本值，构造一个适当的统计量 X,X2,X)然后用它的观察值x,2,.,x) 来估计的真值0，称(x,X,.,X,)为0的估计 量，C,x,x)称为0的估计值. 定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩又 用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数，这种参数点估计法称为矩估计法 ■ 矩估计法的具体做法肠下 ◆ 设总体的分布函数中含有个未知参数0,0，.，0： 那么它的前阶矩4，山，4，一般

教 学 基 本 指 标 教学课题 第六章 6.4 参数的点估计 课的类型 新知识课 教学重点 矩估计和最大似然估计 估计量的无偏性,有效性 教学难点 最大似然估 计 教学要求 了解矩估计与最大似然估计的概念，会求一个未知参数的矩估计量与最 大似然估计量，会判断估计量的无偏性、有效性。 教 学 基 本 内 容 一、点估计

都是这k个参数的函数，记为： 4=4,(01,02,.,0)e1,2,.,k 从这k个方程中解出 0,=0(41,42,.34)j户1,2，.，k 那么用诸“的估计量A,分别代替上式中的诸4， 即可得诸0的矩估计量： 0=0,(4,4,4)户1,2k 矩估计量的观察值称为矩估计值 例已知总体X的概率密度为 VOxV6 0≤x≤1 f(x)= 10 其他 其中日>0，日为未知参数，X,X,x。为总体X的 样本，x,x,.,x为相应样本值，求日的矩估计 量和矩估计值 2.最大似然法 它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估 ,计方法. 它首先是由德国数学家高斯在 ,1821年提出的.然而，这个方法常 归功于英国统计学家费歇. 费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这种方法 的一些性质

求极大似然估计MLE)的一般步骤是： ■ ()由总体分布导出样本的联合分布率（或联 密度)； ■ (2)把样本联合分布率（或联合密度）中自变 ■ 量看成已知常数，而把参数0看作自变量，得到似然 ·函数L(); (③)求似然函数L(的最大值点（常常转化为 求InL()的最大值点)，即O的MLE; (④在最大值点的表达式中，用样本值代入就 得参数的极大似然估计值。 例设XX2,Xn是取自总体X~B(1,p)的一个 样本，求参数的极大似然估计量. 二、估计量的评选标准 常用的几条标准是： 1.无偏性 2.有效性 3.一致性 这里我们重点介绍前面两个标准

二、估计量的评选标准

1、无偏性 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到 不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值.这就 导致无偏性这个标准. 设(X,.,X)是未知参数0的估计量，若 E(0)=0 则称0为0的无偏估计 2、有效性 设A=(X,.,Xn)和A=0,(X,.,Xn) 都是参数0的无偏估计量，若对任意0∈⊙， D(0)D(0) 且至少对于某个0∈⊙上式中的不等号成立， 则称0较日，有效