《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率论与数理统计第七次

教学 基本指标 教学课题 第二章第三节随机变量的分布函数，第四课的 新知识课 节连续型随机变量及其概率密度（第一 类型 部分) 教学重点 .随机变量的分布函数的定义与性质 教学 离散型随机变 离散型随机变量分布律与其分布函数的 难点 量分布律与其 求法，连续型随机变量概率密度与其分布 分布函数的求 函数的求法 法，连续型随 机变量概率密 度与其分布函 数的求法 敦学要求 理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率： .理解连续型随机变量及其概率密度的概念： 3.掌握离散型随机变量分布律与其分布函数的求法，连续型随机变量概 壑密度与其分布函数的求法。 教 学 基本 内 容 第三节随机变量的分布函数 分布函数定义 FX)=P[5≤x,-0<x<+o 分布函数(X)实质上表示随机事件P作≤发生的概率。 2.分布函数Fx)的性质 1)0≤FXW≤1： (2)lim F(x)=0 lim F(x)=1 3)单调非减，当x<x时，Fx)≤Fxa) lim 4右连续X→FW=F网 些概率可用分布函数来表示

教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章第三节随机变量的分布函数，第四 节连续型随机变量及其概率密度 （第一 部分） 课的 类型 新知识课 教学重点 1.随机变量的分布函数的定义与性质 2. 离散型随机变量分布律与其分布函数的 求法，连续型随机变量概率密度与其分布 函数的求法 教学 难点 离散型随机变 量分布律与其 分布函数的求 法，连续型随 机变量概率密 度与其分布函 数的求法 教学要求 1.理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率； 2.理解连续型随机变量及其概率密度的概念； 3.掌握离散型随机变量分布律与其分布函数的求法，连续型随机变量概 率密度与其分布函数的求法。 教 学 基 本 内 容 第三节 随机变量的分布函数 1.分布函数定义： F(x)=P{≤x}, -<x<+ 分布函数(x)实质上表示随机事件 P{≤x}发生的概率。 2.分布函数 F(x)的性质 (1)0≤F(x)≤1; (2) ( ) 0 lim- = →  F x x ( ) 1 lim = →+ F x x (3)单调非减，当 x1<x2时，F(x1)≤F(x2) (4)右连续 lim x→x0 + F(x)=F(x0) 一些概率可用分布函数来表示

p(aa=1-f(a.P[ξ≥a=1-f(a-0). 例1.设随机变量51和E2的分布函数分别为F(x)和Fx),为使Fx)=aF,( FX)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取() A、a=3/5.b=-2/5 B、a=3/5.b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5 选A,因为F(+m)=1=af(+m)-bF+o)=a-b) 例2连续型随机变量；的分布函数为 F(x)=A B arctanx,-<x<oo 求：常数AB。 [解]：因为F(+o)=1,F(-m)=0,所以A+Bπ/2=1，A-Bπ/2=0， 得A2.即网=+aca 例3 将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面 出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值P1<X<3,P{X≥5.5}，P1<X≤3. 解略。 例4 将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面 出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值P1<X<3,PX25.5,P1<X≤3} 解略。 第四节连续型随机变量及其概率密度

P{aa}=1-F(a), P{≥a}=1-F(a-0), 例 1.设随机变量 1 和 2 的分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，为使 F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5 (选 A，因为 F(+∞)=1= aF1(+∞) - bF2(+∞)=a-b ) 例2 连续型随机变量  的分布函数为 F(x) = A + B arctanx, -∞<x<∞ 求：常数 A,B。 [解]：因为 F(+∞)=1, F(-∞)=0，所以 A + B/2=1，A - B/2=0， 解得 A=1/2, B=1/ . 即 F(x) = 1 2 + 1  arctanx . 例 3 解略。 例 4 解略。 第四节 连续型随机变量及其概率密度 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面

连续型随机变量 定义：随机变量可能取的值连续地充满一个范围，如果对于随机变量X的分布 函数Fx)存在非负可积函数fx),使得对于任意实数×，有 F()=f(u)du 则称X为连续型随机变量，其中p(x)为的概率密度函数 密度函数必须满足条件：（密度函数的基本性质） +00 （1)fx)20.-m<x<+m(2)」-mfx)dx=f(+m)=常用结论1 连续型型随机变量的： 1分布函数是连续函数， 2F'x)=fx炒： 3P=a=0, 所以P{a<sb=P(asEsb)=Pas<b=Pa<5<b=∫afx)dx 4Px<5sx+△x=fx)△x 例1 设随机变量X具有概率密度 「x,0≤x<3, fw)=2- 2 ,3≤x≤4， 0, 其它. (1)确定常数k;(2)求X的分布函数； 3)求P1<X≤3. 解略

1. 连续型随机变量 定义：随机变量可能取的值连续地充满一个范围, 如果对于随机变量 X 的分布 函数 F(x)，存在非负可积函数 f(x)，使得对于任意实数 x，有 F(x)=  -∞ x f(u)du， 则称 X 为连续型随机变量，其中 p(x)为的概率密度函数. 密度函数必须满足条件：(密度函数的基本性质) (1) f(x)0, -∞<x<+∞ (2)  -∞ +∞ f(x)dx=F(+∞)=常用结论 1 连续型型随机变量的： 1.分布函数是连续函数； 2 F(x)=f(x); 3 P{=a}=0, 所以 P{a<b}= P{ab}= P{a<b}=P{a<<b}=  a b f(x)dx 4 P{x<x+x} f(x)x 例 1 解略。 }. 2 7 (3) {1 (1) ; (2) ; 0, . , 3 4, 2 2 , 0 3, ( )         −     = P X k X x x kx x f x X 求 确定常数 求 的分布函数 其它 设随机变量 具有概率密度

例2. 设连续型随机变量X的分布函数为 [0, x≤-a, F()-4+Baresinaa. 求：()系数A,B的值； 2)P-a<X<2: (3)随机变量X的概率密度. 解略

例 2. 解略。 (3) . }; 2 (2) { : (1) , ; 1, . arcsin , , 0, , ( ) 随机变量 的概率密度 求 系数 的值 设连续型随机变量 的分布函数为 X a P a X A B x a a x a a x A B x a F x X −          + −    − =