《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率论与数理统计第四次课

教学基本指标 教学课题第一章第五节条件概率 课的类型新知识课 教学重点 条件概率公式，全概率公式及贝叶斯概率 教学难点 全概率公武及 公式 式 教学要求 理解条件概率的概念，掌提概率掌握概率乘法公式、全概率公式、贝叶断 公式。 教 基 本 内 容 一、条件概率定义 设A,B是两个事件，且P(A)>0,称 P(B)P(AB) P( 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 同理可定义 P(AB)= P(AB) P(B) 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 例1一个盒子中装有7件产品，包括4件一等品和3件二等品，从中不放回地 取三次，每次取一件，令A第1次取到一等品，=1,2,3求 P(A),P(AA),P(A 44) 解答略。 二、乘法定理 设P(A)>0,则有P(AB)=P(BA)P(A). 设A,B,C为事件，且P(AB)>0,则有

教 学 基 本 指 标 教学课题 第一章 第五节 条件概率 课的类型 新知识课 教学重点 条件概率公式,全概率公式及贝叶斯概率 公式 教学难点 全概率公式及 贝叶斯概率公 式 教学要求 理解条件概率的概念，掌握概率掌握概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯 公式。 教 学 基 本 内 容 一、条件概率定义 同理可定义 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。 例 1 一个盒子中装有 7 件产品，包括 4 件一等品和 3 件二等品，从中不放回地 取三次，每次取一件，令 Ai: 第 i 次取到一等品， i=1,2,3 求 。 解答略。 二、 乘法定理 . ( ) ( ) ( ) , , ( ) 0, 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 设 是两个事件 且 称 A B P A P AB P B A A B P A =  ( ) ( ) ( ) P B P AB P AB = 1 2 1 3 1 2 P A P A A P A A A ( ), ( ), ( ) 设 P(A)  0, 则有 P(AB) = P(B A)P(A). 设 A,B,C 为事件,且 P(AB)  0, 则有

P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A) 例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概 率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 多少？ 解答略。 例3六个阄，其中一个阄内写着“有”字，五个阄内不写字，六人依次抓取 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？ 解答略。 三、全概率公式与贝叶斯公式 1.样本空间的划分 定义设S为试验E的样本空间B,B2,Bn为 E的一组事件，若 ()B,B,=②，i≠j,i,j=1,2,n (ii)B UB2 U.UB S. 则称B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分 2.全概率公式 定理设试验E的样本空间为S,A为E的事件， B,B2,B为S的一个划分，且P(B,)>0(i= 1,2,.,n),则 P(4)=P(4B.P(B.)+P4B、)P(B,)+·· +P(A B)P(B) 例4有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的 占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%， 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 解答略

例 2 某种动物由出生算起活 20 岁以上的概率为 0.8, 活到 25 岁以上的概 率为 0.4, 如果现在有一个 20 岁的这种动物, 问它能活到 25 岁以上的概率是 多少? 解答略。 例 3 六个阄, 其中一个阄内写着“有”字， 五个阄内不写字 ，六人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？ 解答略。 三、全概率公式与贝叶斯公式 1. 样本空间的划分 2. 全概率公式 例 4 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的 占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为 2% ， 1%， 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解答略。 P(ABC) = P(C AB)P(B A)P(A). , , , . (ii) . (i) , , , 1,2, , ; , , , , , 1 2 1 2 1 2 则 称 为样本空间 的一个划分 的一组事件 若 定 义 设 为试验 的样本空间 为 B B B S B B B S B B i j i j n E S E B B B n n i j n      = =   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 2, , ), , , , , ( ) 0( , , 1 1 2 2 1 2 n n n i P AB P B P A P AB P B P AB P B n B B B S P B i E S A E + = + +  =    则 为 的一个划分 且 定 理 设试验 的样本空间为 为 的事件

3.贝叶斯公式 定理设试验E的样本空间为S.A为E的事件，B, B2,Bn为S的一个划分，且P(4A)>0,P(B,)>0, (i=1,2,n),则 P(B,A)= P(AB)P(B) ,i=1,2,.,m. P(ABP(B 例5 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元 件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且 无区别的标志 (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的 概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是 次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率. 例6 对以往数据分析结果表明，当机器调整得 良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某 种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动 时，机器调整良好的概率为95%.试求已知某日 早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的 概率是多少？ 解答略

3. 贝叶斯公式 例 5 例 6 。 解答略。 , 1,2, , . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ), , , , ( ) 0, ( ) 0, . , 1 2 1 i n P AB P B P AB P B P B A i n B B S P A P B E S A E B n j j j i i i n i    = = =   = 则 为 的一个划分 且 定 理 设试验 的样本空间为 为 的事件 ; (1) , . , 0.05 0.80 0.15 0.03 0.01 0.02 3 2 1 . : 概率 在仓库中随机地取一只元件 求它是次品的 无区别的标志 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的 且 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 件制造厂提供的 根据以往的记录有以下的数据 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元 . . , , (2) , 家工厂生产的概率分别是多少 试求这些概率 次品 为分析此次品出自何厂 需求出此次品由三 在仓库中随机地取一只元件 若已知取到的是 ? , , 95%. , 55%. , 98%, , 概率是多少 早上第一件产品是合格品时 机器调整得良好的 时 机器调整良好的概率为 试求已知某日 种故障时 其合格率为 每天早上机器开动 良好时 产品的合格率为 而当机器发生某 对以往数据分析结果表明 当机器调整得

例7 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试 验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应 为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则 有P(AC)=0.95,P(AC)=0.95.现在对自然人群 进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005， 即P(C)=0.005,试求P(C4). 解答略

例 7 解答略。 ( ) 0.005, ( ). , 0.005, ( ) 0.95, ( ) 0.95. , , : , P C P C A P AC P AC C A 即 试求 进行普查 设被试验的人患有癌症的概率为 有 现在对自然人群 为阳性”以 表示事件“被诊断者患有癌症”则 验具有如下的效果 若以 表示事件“试验反应 根据以往的临床记录 某种诊断癌症的试 = = =