《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章 n阶行列式_1.4 克拉默法则_1.4 克拉默法则

线性代数第一章 §1.4克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结思考题 上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则 上页 下页 返回

线性代数第一章 一、克拉默法则 i anx+azx2+L+aux,=b 设线性方程组 azx+az2x2+L+aznxn=b2 (1) LLLLLLLLLLLL amx+an2x2+Lamxn=bn 若常数项 b1,b2,L,b,不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组； 若常数项b,b2,L,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

线性代数第一章 方程组(1)可简写为 a4水；=b :i=1,2,L,m j=1 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 01a12L D= 21422L a2n LLLLLLL am an2 L 称为方程组(1)的系数行列式 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 称为方程组(1)的系数行列式. 方程组(1)可简写为

线性代数第一章 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式D10那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D D2 ,x3= D: L,xn= D X1= X2= D D 其中D,是把系数行列式D中第广列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 41L41,1b,4,1L4n D-LLLLLLLL LL L 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为

线性代数第一章 结论如果线性方程组)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个数相 等，且系数行列式不为零的线性方程组. 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及常 数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 结论 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及常 数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个数相 等，且系数行列式不为零的线性方程组

线性代数第一章 二、齐次线性方程组的相关定理 当b,b2,bn全为零时，对应的齐次方程为 iaux+ax2+L +ax=0 I azx+azx,+L+axnx=0 (2) LLLLLLLLLLLL ax+an2x2+L+amx=0 显然，齐次线性方程组一定有解， 七1=X2=.=水n=0 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 二、齐次线性方程组的相关定理 显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

线性代数第一章 推论如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D10 则齐次线性方程组(2)只有零解， 换言之，如果齐次线性方程组(2)有非零解，则其系 数行列式必为零，反之，如果齐次线性方程组(2)系数行 列式为零，则齐次线性方程组(2)必有非零解.于是有下 面的定理，这将在第二章中给予证明。 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 推论 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解. 换言之，如果齐次线性方程组(2)有非零解，则其系 数行列式必为零，反之，如果齐次线性方程组(2)系数行 列式为零，则齐次线性方程组(2)必有非零解.于是有下 面的定理，这将在第二章中给予证明

线性代数第一章 定理1.4.2齐次线性方程组 ia11X1+412x2+L+41mXn=0 az+ad0 ILLLLLLLLLLLL (2) anx+anx2+L+amx=0 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 定理1.4.2 齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零

线性代数第一章 例1用克拉默则解方程组 i2x1+x2-5x3+x4=8, }x1-3x2-6x4=9, i2x2-63+2x4=-5, 1X1+4x2-7x3+6x4=0. 解 21-51 0 7-5 13 1-30-61-2 1 -3 0 -6 D 0 2-12 4-2 0 2 -1 2 4-7 6 0 -7 12 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 例1 用克拉默则解方程组 解

线性代数第一章 7 -5 13 -3-5 3 G1+2c2 2 -1 2 0-1 0 C3+2c2 7.7 12 .7-7-2 -3 3 27, -7 -2 8 1 -51 28 -5 1 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D1= D .5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 1 0 -7 6 =81, =-108, 版权所有：山东理工大学理学院

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