《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2.2 向量及其线性运算_2.2 向量及其线性运算

线性代数第二章 §2.2向量及其线性运算 入 一、n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结思考题 上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 二、n 维向量的线性运算 一、n维向量的概念 四、小结 思考题 §2.2 向量及其线性运算 三、向量空间与子空间 上页 下页 返回

线性代数第二章 一、n维向量概念 定义2.2.1 由n个数组成的有序数组(a1,2,.an)称为一个n维 向量.记作： □=(41，L2,.,0m） 其中第i个数4，(i=1,2,.,n)称为n维向量口的第i 个分量或坐标. 分量全为实数的向量称为实向量，否则称为复向量。 以后我们用小写希腊字母4，b8L来代表向量。 我们讨论的主要是实向量 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为一个n维 向量. 记作: ￾ = ( a1 , a2 , . ,an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维向量 ￾ 的第 i 个分量或坐标. 一、n 维向量概念 定义2.2.1 分量全为实数的向量称为实向量， 否则称为复向量. 我们讨论的主要是实向量 以后我们用小写希腊字母 来代表向量

线性代数第二章 规定：两个向量口=(a,42,.an),口=（亿，b2,.bn)相等， 记作口=口 a;=b1 (i=1,2,.,) 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 规定：两个向量￾ = ( a1 , a2 , . an ), ￾ = (b 1 , b 2 , . b n )相等, 记 作 ￾ = ￾ ai = bi ( i = 1, 2, . , n)

线性代数第二章 零向量0=(0,0，.，0) 负向量对口=(a1,2,.an)称（一a1,一2，一an)为口 的负向量记为一口.即 -D=(-41,一2，一an) 行向量口=(a1,2,4m) 列向量 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对 ￾ = ( a1 , a2 , . an ) 称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为￾ 的负向量.记为－￾ . 即 －￾ = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量 ￾ = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量

线性代数第二章 注意： 1.行向量和列向量只是写法上不同，而本 质上并没有区别 2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 注意: １．行向量和列向量只是写法上不同，而本 质上并没有区别. ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算

线性代数第二章 二、n维向量的线性运算 定义2.2.2设口=(a1,42,an),口=(b1,b2,bn) 都是n维向量，向量(41+b1,42+b2,an+bn)称为向量口与 口的和，记作口+口，即 ☐+☐=(a1+b1,2+b2,4n+bn) 由负向量即可定义向量的减法： ☐-0=口+(-0）=(a1-b1,4n-bn) 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 定义2.2.2 设￾ = ( a1 , a2 , ., an )， ￾ = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为向量￾ 与 ￾ 的和，记作￾ +￾ ，即 ￾ + ￾ = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算 ￾ －￾ = ￾ + (－￾ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法：

线性代数第二章 定义2.2.3设口=(41,42，n),口是实数，定义 □☐=（口41，☐2，口am) 称为数口与向量口的乘积，记作口口，简称为数乘 数口与向量口的乘积的性质有： (1)0a=0(2)(-1)a=-a(3)l0=0 (4)如果l10,a10,那么1a10. 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 ￾ ￾ = ( ￾ a1 , ￾ a2 , ., ￾ an ) 称为数￾ 与向量￾ 的乘积，记作￾ ￾ ，简称为数乘. 设￾ = ( a1 , a2 , ., an 定义2.2.3 )， ￾ 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数￾ 与向量￾ 的乘积的性质有:

线性代数第二章 向量的线性运算满足八条运算律 设口、口、口是n维向量，0是n维零向量，k、 1是任意实数。 (1) □+□=□+☐ (⑤S)k(O+口)=k口+kC (2) (0+口)+口=口+（口+6）(k+1)口=k0+10 (3) ☐+0=口 (7)(k1)▣=k(10) (4)▣+(-0)=0 (8)10=▣ 版权所有：山东理工大学理学腕

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 向量的线性运算满足八条运算律 (1) ￾ + ￾ ＝ ￾ + ￾ (2) (￾ + ￾ ) + ￾ ＝ ￾ + ( ￾ + ￾ ) (3) ￾ + 0 ＝ ￾ (4) ￾ + (－￾ ) ＝ 0 设 ￾ 、￾ 、￾ 是 n 维向量，0 是 n 维零向量，k、 l 是任意实数。 (5) k (￾ + ￾ ) ＝ k￾ + k￾ (6) ( k + l ) ￾ = k￾ + l￾ (7) ( k l ) ￾ = k ( l￾ ) (8) 1·￾ = ￾

线性代数第二章 例1设口=(1,3，-2,2)，口=（5,1，-2,0)， 若已知口+2口=30，求向量0. 解：由口+2口=3口得 g（36a)-us3-6-.3-22 114,0-4-2）=(7,0-2,-1) 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 例1 设￾ =(1，3，-2，2) , ￾ = ( 5，1，-2，0 )， 若已知￾ +2￾ =3￾ ，求向量￾ . 解: 由￾ +2￾ = 3￾ 得

线性代数第二章 é3d 解：由3a1-4a2= e17ú e、ú è2i 8年 得 é e3ù 12 ù S 48 e SS 1 (3è3ú-è17 -8i=e-2 A 4 仓2 20 8 e2u 4日 88自 81且 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 得