《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率第12次课

教学基本指标 教学课题 第五章第一节大数定律 课的类型 新知识课 第二节中心极限定理 教学重点 依概率收敛，伯努利大数定律 教学难点 中心极限定 独立同分布的中心极限定理。 理 教学要求 会利用切比雪夫不等式估计概率，利用中心极限定理计算题。 教学基本内容 一、契比雪夫(Chebyshev)不等式 定理5.1（契比雪夫不等式）设随机变量X具有数 学期望E(X)=4,方差D(X)=σ2，则对于任意 正数6，恒有 02 PIX-μ2}≤ 二、大数定律 定理5.2（伯努利大数定律）设n,是n重伯努利 试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试 验中发生的概率，则对于任意正数6，有 a-p水=-1 ll-xoo 或limP巴-pP=0 1-o0 n

教 学 基 本 指 标 教学课题 第五章 第一节大数定律 第二节 中心极限定理 课的类型 新知识课 教学重点 依概率收敛，伯努利大数定律 独立同分布的中心极限定理。 教学难点 中心极限定 理 教学要求 会利用切比雪夫不等式估计概率，利用中心极限定理计算题。 教 学 基 本 内 容

定理5.3（契比雪夫大数定律) 设随机变量X,X2,.,X,.相互独立，分别有数学 期望E(X),E(X2),.E(Xn). 及方差D(X),D(X2,.D(Xn), 并且方差是一致有上界的，即存在某一常数c,使得 D(X)≤c(k=1,2,n,),则对于任意正数e, 有 nk I k=1 推论（契比雪夫大数定律的特殊情况）设随机变量 X,X2,.,X,.相互独立，服从同一分布，并且有数学期望 和方差：E(X)=4,D(X)=o2,k=1,2.,则对任意正数 8,恒有 P2x水=1 定理5.4（辛钦大数定律)设随机变量X,X2,.,X,.相互 独立，服从同一分布，且具有数学期望 E(X)=4(k=1,2,),则对于任意正数6，有

§5.2中心极限定理 定理5.5（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 X,X,.,X,.相互独立，服从同一分布，且具有数学 期望和方差：E(X)=4,D(X)=o2>0(k=1,2,), 则当n→o时，它们的和的极限分布是正态分布，即随机 X:-n 变量之和∑X的标准化变量：Y。=回 k=1 nG 的分布函数F(x)对于任意x满足 ∑Xk-nμ limF(x)=limp √no 例1计算机在进行加法运算时，对每个加数取整（取 为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独 立的，且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布， （1)若取1200个数相加，问误差总和的绝对值超过15 的概率是多少？ （2)多少个数加在一起使得误差总和的绝对值小于10 的概率为0.95？ 例2某保险公司有10000人参加人寿保险，每人每 年付12元保险费，据以往资料，人群中与这项保险 业务有关的死亡率为0.006死亡后其家属可向保险 公司领得1000元，试问保险公司亏本的概率是多少？ 例3已知某厂生产一大批电子元件，其中合格品占 1/6,现从中任意选取.问至少应选取多少个这种元 件，才能使得选出的这批元件中合格品的比例与1/6 的差异不大于0.01的概率不小于0.95