《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率第11次课

教学 基 本 指 标 教学课题 第四章第三节几种常用分布的期望、方差课的类型 新知识课 第四节协方差与相关系数矩 教学重点 六种分布的期望和方差 教学难点 协方差与相 协方差的计算，相关系数 关系数 教学要求 掌握六中分布的期望与方差，并利用公式会计算协方差与相关系 数 教 冰 基 内 容 一、熟练记住六种分布的期望与方差 分 和 参数 数学期里 方差 两点分布 00 元 均匀分布 a0 0 02 正态分布 4,0>0 从 2 、协方差与相关系数 定义4.4称E(X-E(X)(?-E()]为随机变量 X与Y的协方差，记作Com(X,Y),即： Cov(x,Y)=E(X-E(x))(Y-E(Y))] 对于任意两个随机变量X与Y,有 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 计算协方差的公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

教 学 基 本 指 标 教学课题 第四章 第三节几种常用分布的期望、方差 第四节 协方差与相关系数 矩 课的类型 新知识课 教学重点 六种分布的期望和方差 协方差的计算，相关系数 教学难点 协方差与相 关系数 教学要求 掌握六中分布的期望与方差，并利用公式会计算协方差与相关系 数。 教 学 基 本 内 容 一、熟练记住六种分布的期望与方差 二、协方差与相关系数

协方差具有如下性质： 1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 2)Cov(X,+X:Y)=Cov(X,Y)+Cov(X2,Y) 3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) 定义4.5设(X,Y)为二维随机变量，若D(X)>0, Cov(X,Y) Dr)>则称D(X√D可为随机变与T 的相关系数，记作Pw,即Pw=D(XD西 Cov(X,Y) 相关系数的性质： 1)p≤1 2)Px=1的充分必要条件是存在常数a,b(a≠0) 使得P{=aX+b}=1 定义4.6若随机变量X与Y的相关系数为零， 则称X与Y不相关. 定理4.3对随机变量X与Y,下面的事实是等价的， 1)Cov(X,)=0 2)X与Y不相关； 3)E(XY)=E(X)E(Y) 4)D(X+)=D(X)+D(Y) 定理4.4若X与Y相互独立，则X与Y不相关

例1 已知离散型随机变量X的分布律为 X-101 p1/31/31/3 令Y=X?问X与Y是否不相关？X与Y是否独立？ 解 E(X)=-1×3+0×3+1X EY)=Ex)=仁Hx3 ，02×+1入3○ E(X灯）=E=-0×；+0xg+1'*s0 3 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 说明X与Y不相关.但X与Y有函数关系Y=X, 说明X与Y不独立 三、矩 数学期望、方差和协方差都是随机变量最常用的 数学特征，把它们推广到更一般的情况就有如下矩的 定义.应该指出的是，矩是统计学中最基本也是最重 要的概念. 定义4.7设X与y是随机变量 1若E(X),(k=1,2.)存在，称之为X的k阶原点矩， 简称k阶矩 2若E「X-E(X),(k=2,3.)存在，称之为X的k 阶中心矩 3若E(XY),(k,1=1,2.)存在，称之为X与Y的 k+I阶混合矩。 4若E(X-E(X)(Y-E(),(k,l=1,2.)存 在，称之为X与Y的k+l阶混合中心矩