《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第三章 矩阵的运算_3.2 逆矩阵_3.2 逆矩阵

线性代数第三章 S3.2 逆矩阵 、 逆矩阵概念及唯一性 二、矩阵可逆的判别定理及求 三、可逆矩阵的性质 四、典型例题 五、小结 上页北 下页儿返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 §3.2 逆矩阵 一、逆矩阵概念及唯一性 二、矩阵可逆的判别定理及求 三、可逆矩阵的性质 四、典型例题 五、小结 上页 下页 返回

线性代数第三章 一、逆矩阵概念及唯一性 概念的1入：在数的运算中，当数410时，有 aa1=a'a=1, 其中 a'=1 为a的倒数，（或称a的逆)； 2 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A, 使得 AA=4A=E, 则矩阵A1称为A的可逆矩阵或逆阵. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数，（或称 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵 A，如果存在一个矩阵 A -1 , 使得 一、逆矩阵概念及唯一性 概念的引入:

线性代数第三章 逆矩阵的概念 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B,使得 AB=BA=E 则称A是可逆的，并称B为A的逆矩阵 é12ù é5-2ù 例如A= 58B21H 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB = BA = E 则称 A 是可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 逆矩阵的概念 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵

线性代数第三章 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=A. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 可得 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明：

线性代数第三章 二、 矩阵可逆的判别定理及求法 ean av L 1nù 设 e」 L22 L ú A= a2n eL L L Lú i ěLnl an2 L ann 我们构造矩阵 éAn A21 L 产=è0 L A e M M Mú称为A的伴随矩阵， e 山 A2n L A 其中A,是矩阵A中元素a,的代数余子式 版权所有：山东理工大学理学腕

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 我们构造矩阵 称为 A 的伴随矩阵. 设 二、矩阵可逆的判别定理及求法

线性代数第三章 由于 4n+a4:+L+a4n-月为i=j ￥0i1方 o,+,L+a4-北Aj 0i1 a11412 L anùeA1A21 L 所以 e L úe AA=642 42 ageAn An L u eL L L LúeM M Mú úe eani an2 L amtA in L Am eA 0 L 0ù 0 4 L = 0 =AE L L L Lú 60 & 0 L 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 由于 所以

线性代数第三章 同理可得： A 0 L0ù 0 A L 0 AA- e eL L L i=AE 0 0 L 148 故 AA=A'A=AE 只到0放有行0（分41=F 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 同理可得: 故

线性代数第三章 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆01A0,而且A1= A 证明"U"(充分) 已证. "b"(必要) 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A1=E=1 所以 A0. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 证明 两边取行列式，得 所以

线性代数第三章 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明：设AB=E 判断B是否为A的逆矩阵， 只需验证AB=E 则 IABABE=1 和BA=E中的一个即可 所以|A0,由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(AA)B=A(AB)=AE=4 同理可证，若BA=E,则B=1. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 所以 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 同理可证，若BA=E，则

线性代数第三章 é12 -1ù 例1判断A= 1 0普是不可逆？若可逆，求其逆矩阵 810- 解： 由于A=910, 故A可逆，又 A1=-2,A21=4,A31=4, A12=-2,A2=-3,A32=-3 A13-1,A23=-2,A33=-5, 4 1 于是 ú e-2 41ù 9 9 1= 1è -3 -3 e2 1 A 9a6 3 3ú -2 -51 e 1 2 i 69 9 9 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 解： 故 A 可逆，又 A11 =-2， A21=4， A31=4， A12 =-2， A22 =-3， A32 =-3 A13=1， A23 =-2 ， A33 =-5 ， 于是