《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-4 一阶线性微分方程

第四节 第七章 一阶线性微分方程 一、一线性微分方程 *二、伯努利方程

一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： dy P(x)y口2(x) 若Qx)口0，称为齐次方程， 若Q(x)巾 称为非齐次方程 0 1.解齐次方程 dy 口P(x)y□0 dy 分离变量 口P(x)dx y 两边积分得 lny口□(xdx回lnC 故通解为 y☐e(x)dx

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ￾ 0, 若 Q(x) ￾ 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ;

2.解非齐次方程 dy P(y (x) dx 用常数变易法作变换(x)☐(x)e吧)d,则 ue吧(odP9 xP(x)☑网dxaO(x)） du 即 日Qx)ex)dx dx 两端积分得 u口9x)e)dxdx EC 故原方程的通解y☐e(xdx @(x)d C目 即 yLCe☑(x)dx ☐eU(x)dx (x)x 齐次方程通解 非齐次方程特解

对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得

5 例1.解方程 口(x1) dxx▣l 解：先解 dy2 00,即 dy2dx dxx□l x☐1 积分得lny口2lnx☐l□lnC,即yC(xD1) 用常数变易法求特解令y口u(x)(x口1)，则 y①u☑xO1)2☐2u☑xO1) 代入非齐次方程得 C☐(x☐1)2 解得 故原方程通解为ya胃

例1. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令

注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如，解方程 dx xy 法1.取y作自变量 dx 0x口y 线性方程 d 法2.作变换u Ux Uy,则y凵ux, 1 dxdx 代入原方程得 u du 可分离变量方程 dx u

注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程

例2.设可导函数满足 求 解：对方程的两端对x求导得 令=O代入方程得 设 则原方程等价于

例2. 设可导函数 满足 求 解: 对方程的两端对x求导得 令x=0代入方程得 设 则原方程等价于

(1) (2) (1)式是一个一阶线性微分方程，解得 代入初始条件(2)式得 结与作业

小结与作业 (1)式是一个一阶线性微分方程，解得 (1) (2) 代入初始条件(2)式得

*二、伯努利(Bernoulli)方程 伯努利方程的标准形式： dy ☐P(xy☐Q(xy”(n☐0,1) 解法：以y”除方程两边，得 雅各布第一·伯努利 “出rw”tO网 令z0y,则u0ww dx dz □(1☐n)P(x)z口(1□n)Q(x)(线性方程) dx 求出此方程通解后，换回原变量即得伯努利方程的通解

*二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利

例4.求方程 dy□'□a(lnx)y2的通解 d 解：令z日y口，则方程变形为 dz OCa Inx dx 其通解为 z e 口xC©%(lnx)2 将z口y·代入，得原方程通解 x(

例4. 求方程 的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解:

内容小结 1.一阶线性方程 □P(x)y口2(x) dx 方法1先解齐次方程，再用常数变易法 方法2用通解公式 y e(edxC 2.注意用变量代换将方程化为己知类型的方程 例如，解方程 dxxy

内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程