《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-7 常系数齐次线性微分方程

第七节 第七章 常系数齐次线性微劣方程 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根

常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章

二阶常系数齐次线性微分方程， yDpy四qy口0(P,q为常数) ① 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子， 所以令①的解为y口ex(r为待定常数)，代入①得 (r2□pr□q)ex☐0 >r2pr0q□0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 1.当p2☐4q口0时，②有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：口ex,y2口e5, 因此方程的通解为y·C]e*C2ex

二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根

2.当p2口4g☐0时，特征方程有两个相等实根1口 口号，则微分方程有一个特解力口e 设另一特解y口yu(x)☐ehxu(x)(u(x)待定) 代入方程得 d[(u四2r☐2u)0p(u☐ru)0qw血0 u(2n0p)uD(1Dpn·q)u口0 注意是特征方程的重根 u▣0 取u=x,则得y2口xeix,因此原方程的通解为 y■(C1■C2x)eix

特征方程 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为

麦克劳林级数： 欧拉公式

麦克劳林级数: 欧拉公式

3.当p口4q☐0时，特征方程有一对共轭复根 h00□i0,500Oi回 这时原方程有两个复数解： h☐eaua)x☐ex(cos口isin口x） y2 ee(cos i sin) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解： yd2y☐y2)☐ecos口x 2D20y10y2)口e0xsin0x 因此原方程的通解为 y☐ex(C1cos0x0C3sn☐x)

特征方程 3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为

小结： yDpy四qy☐0(p,q为常数)》 特征方程：r2☐pr☐q国0，特征根：1,2 特征根 通 解 1口乃实根 yCeEC2 e"x 1D20号 y(C C2x)ex 12□0☐i☐ y☐ex(C1cos0xDC2 sinx)） 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程

小结: 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程

推广： ym☐a1ym口)☐0☐anay☐anyD0(ak均为常数) 特征方程： ,Oay r"O 00 Danar Oan 00 若特征方程含飞重实根r,则其通解中必含对应项 (C C2x C)e** 若特征方程含k重复根r口口口i口，则其通解中必含 对应项 exT(C,OC2xd0□CkxkO)cos口xC 口(D口D2xD0 D)sim□x] (以上C,D,均为任意常数)

若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推广:

例1.求方程y四2y中3y口0的通解 解：特征方程r2口2r☐3☐0，特征根：1口口，2口3， 因此原方程的通解为y☐Cer☐C2e3x s ds 2 s☐0 例2.求解初值问题 ar di ds sroo 4, dtt0 ▣2 解：特征方程r2口2r□1口0有重根1☐5口口， 因此原方程的通解为s□(C□C,t)e 利用初始条件得 C☐4，C2☐2 于是所求初值问题的解为s口(4☐2t)e口

例1. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为

例3. 的通解， 解：特征方程 特征根 因此原方程的通解为

例3. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为

例4.求方程y(4)O2y心5y口0的通解 解：特征方程r4☐2r3口52☐0，特征根 102口0,5.4□1021 因此原方程通解为 y☐C1☐C2xCe'(C3cos2x□C4sin2x) 例5.解方程y5)口y4☐0 解：特征方程：r5☐r4☐0，特征根 1口2口3口r4□0,5□1 原方程通解：y☐CCC2xCC3x2CC4x3口Cse (不难看出，原方程有特解1，x,x2,x3,e)

例4. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解