《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分_5-2 微积分基本公式

第二为 第五章 微积分的基本公式 一、 引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式

二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五章

一、引例 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[T,T,]内经过的路程为 0d1=s2)-s) 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( ) d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = −  这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

二、积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b1上连续， 并且设x为a,b]上的一点。下面考察 f(x)在部分区间a,x上的定积分 f(x)dr=∫fu)dx-f0d(a≤x≤b 显然这个定积分是存在的。另外，这里不同位置的x 表示不同的含义。为了明确起见，可以把积分变量 改用其他符号。 如果上限x∈[a,b]任意变动，那么每定一个x值，定积分 都唯一确定一个值，所以它在[α，b上定义一个函数

x 二、积分上限的函数及其导数 y = f (x) a b x y O

二、积分上限的函数及其导数 定理1.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 ()=∫fudi 在[a,b]上可导，并且它的导数 Φ(x)= &/ma-a b x 证：Vx,x+h∈[a,b],则有 x+h (x+)-=】 d-dr =Jf0)d1=f5)(x<5<x+) .f(x)∈C[a,b] ,.Φ'(x)=lim D(x+h)-Φ(x) lim f()=f(x) h-→0 h0

 (x) x x + h  二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数  = x a  (x) f (t) d t 证:  x , x + h [a , b] , 则有 h  (x + h) − (x)  h 1 =    − + x a x h a f (t) d t f (t) d t  + = x h x f t t h ( ) d 1 = f ( ) ( x    x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0  + − = → lim ( ) 0 f  h→   (x) = = f (x) 定理1. 若 y = f (x) a b x y O d ( ) ( ) d ( ). d x a x f t t f x x   = = 

说明： 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)其他变限积分求导 gfedi=flor]o' d r(x) &g3reod-&[Infod+gf0d] f[o(x)]o'(x)-f[w(x)]w'(x)

说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导:  ( ) ( ) d d d x a f t t x  = f [ ( x)]( x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .  ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t x   = f [ ( x) ]( x) − f [ ( x) ] ( x)   +   =   ( ) ( ) ( ) d ( ) d d d x a a x f t t f t t x  

dt 例1.求lim x→>0 8 解： 原式1me .(-sin x) 1 x→0 2x 2e 例2.确定常数a,b,c的值，使 lim ax-sinx =c(c≠0)】 +2)dt 0-0 解：x→0时，ax-simx→0，c≠0，.b=0 原式套1im a-cosx a-cosx =lim →01n1+x2 x→0 x2 c0,故a=1.又由1-cosx~x2,得c=

e ( sin ) 2 cos x x  − − 例1. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 说明 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解:  b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a = 1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c = 洛 洛

例3.设f(x)在[0，+oo)内连续，且f(x)>0,证明 F-iy00a 只要证 F'(x)>0 在(0，+∞)内为单调递增函数 证：F= ®f(x)jf0d-fx)j/d (f() f)(x-)fd=f):x-5)f5)x>0 (jof)d)月 (( (0<5<x) F(x)在0，+∞)内为单调增函数

= f x t f t t x ( ) ( ) d 0  − 例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t) d t x  x f x f t t x ( ) ( ) d 0  ( ) 2 0 f (t) d t x  f x f t t x ( ) ( ) d 0  (x − t)  0 只要证 F ( x )  0 = ( ) 2 0 f (t) d t x  f (x) ( x −  ) f ( ) x (0    x)

三、牛顿-莱布尼茨公式 定理2.设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则∫f(x)dx=F(b)-F(a)(牛顿莱布尼茨公式) 证：根据定理1f(x)dr是f(x)的一个原函数，故 F(x=∫fx)dx+C 令x=a,得C=F(a),因此f(x)dr=F(x)-F(a) 再令x=b,得 d-r(a

三、牛顿 – 莱布尼茨公式 f (x) dx F(b) F(a) b a = −  ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = +  ( ) ( ) d 因此 f (x) dx F(x) F(a) x a = −  得 记作 定理2. 函数 , 则 或

例4.计算x2dx 解65 73 0 3 例s计算∫： 解J=nn1-n2=-n2 注： 微积分基本公式中的Fx)必须是fx)在a,b上的原函数

例4. 计算 解: 1 0 例5. 计算 解: 1 2 − − 注: 微积分基本公式中的F(x)必须是f(x)在[a,b]上的原函数

6.计算11+ /3 dx dx arctanx -1 = arctan√3-arctan(-1） 3(- 412 例7.计算正弦曲线y=sinx在[O,π]上与x轴所围成 的面积 y=sin x 解： 4= sinx dx X =-COSx -(-1-1)=2

例6. 计算 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3 π = π 12 7 = 例7. 计算正弦曲线 的面积 . 解:  = π 0 A sin x dx = − cos x 0 π = −(−1−1) = 2 ) 4 π − ( − O y x y = sin x π