《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导数与微分_2-4 隐函数和参数方程求导及相关变化率

第四节 隐画数和参数方程求导 相关变化率 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率

第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率

一、隐函数的导数 若由方程F(x,y)口0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y口f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x口y3□1口0可确定显函数y口/x口 y°☐2y口x☐3x□0可确定y是x的函数， 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)口0 两边对x求导（注意y=x) F(x,y)口0（含导数y的方程） dx

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 的方程)

例1.求由方程y□2y口x☐3x口0确定的隐函数 y口y(x)在x=0处的导数 dxx□O 解：方程两边对x求导 d(0y☐2y日x☐3x)C0 d 得 51d 01☐21x600 dx d x 121x6 dx 5y4☐2 因x=0时y=0,故 dy dxx☐0 2

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数

例2.求椭圆 口1在点(2，号3)处的切线方程 16 解：椭圆方程两边对x求导 8 0yx2 2 3 4 故切线方程为 yano9x2 即 3x☐4y☐83☐0

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即

例3.求由方程 所确定的隐函数的二 阶导数 解：应用隐函数的求导方法，得 00 再对x求导，得

例3. 求由方程 所确定的隐函数的二 解: 应用隐函数的求导方法,得 再对x求导，得 阶导数

例4.求y口xumx(x☐0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 lny☐sin x [nx 两边对x求导 川cosxxsinx yxi (cosx Insinx

例4. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导

说明： 1)对幂指函数y□u',其中u☐u(x),v口(x).可用对数 求导法求导 lny▣vlnu rnu四 四r'(h 注意： y☐u'nI☐vug 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式

1) 对幂指函数 可用对数 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 求导法求导 :

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 (x☐1)(x☐2) 如， y 1V(x☐3)(x☐4) 两边取对数 (In Iny O On*0l OIn*02 ☐lnx☐3☐lnx04! 对x求导 9%1 01 y2x1x2 x☐3x4 y (x□2) 0101 2 (x☐3)(x☐4) x1x☐2x☐3 x▣4

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 如, 对 x 求导 两边取对数

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 关系，□(t),口(t)可导，且[口C)]回口C)]口0，则 口)口0时，有 dwcd业 dx dt dx dt 口t)口0时，有 dt (此时看成x是y的函数)

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系

若上述参数方程中口(t),口()二阶可导，且口)口0， 则由它确定的函数y口f(x)可求二阶导数 x▣(t 利用新的参数方程 dy ,可得 dx d x" dx 口4)▣G)口口Q)▣4) ū色(t) 吧)口()00Gt)口咂) ▣已(t)

若上述参数方程中 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得