《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-8 函数的连续性与间断点

第、节 离数的连续性与间断点 一、 函数连续性的定义 二、函数的间断点

二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点

一、 函数连续性的定义 1.函数的增量 设函数f(x)在x的某一个邻域内有定义，x为该邻域内 一点，让△x=x-X,称为自变量在点x,的增量 y=f(x) Xo X

一、 函数连续性的定义 1. 函数的增量 0 0 0 ( ) , , , Δ . 设函数 在 的某一个邻域内有定义 为该邻域内 一点 让 x x x 称为自变量在点 的增量 f x x x x    x y 0 0 x x y f x  ( ) Δx

说明：1.△x是一个整体不可分割的记号， 2.△x可正可负，可大可小 3.如果让y=f(x)在x点获得一个增量△x, 则可以确定该领域内一点x=x,+△x. y=f(x)

x y 0 0 x x y f x  ( ) Δx 说明： 1. Δx是一个整体不可分割的记号. 2. Δx可正可负,可大可小. 0 0 ( ) Δ Δ . 3. 如果让 在 点获得一个增量 ， 则可以确定该领域内一点 y f x x x x x x    x y 0 0 x x x 0 Δ y f x  ( ) Δx

当自变量x在这邻域内从x,变到x。+△x时，相应的函数值， 从f(x,)变到f(x,+△x),因此函数值或因变量f(x)的 对应增量为 △y=f(x,+△x)-f(x) 称为函数的增量， V= f(x+△x) f(xo x0xO+△x

x y 0 0 x x x 0 Δ y f x  ( ) Δx 因此函数值或因变量 ( )的 对应增量为 f x ( ) 0 f x ( Δ ) 0 f x x + 0 0 0 0 Δ ( ) ( Δ ) 当自变量 在这邻域内从 变到 时，相应的函数值, 从 变到 ， x x x x f x f x x   Δ 0 0 y f x x f x    ( Δ ) ( ). 称为函数的增量. Δy   

2.连续的定义 定义1设函数y=f(x)在点x,的某一领域内有定义，如果 lim△y=lim[f(x+△x)-f(x,)]=0, △x->0 △x0 那么就称函数y=f(x)在点x,连续， 设x=x。十△x,则当△x→0就是x→x,.又 △y=f(x+△x)-f(x)f(x)-f(x), 即 f(x)=f(xo)+△y, 可见△y→0等价于f(x)→f(x),于是

2. 连续的定义   0 0 0 Δ 0 Δ 0 ( ) lim Δ lim ( Δ ) ( ) 0, 定义1 设函数 在点 的某一领域内有定义，如果 x x y f x x y f x x f x        0 那么就称函数y f x x  ( )在点 连续. 设x x x x x x     0 0 Δ ，则当Δ 0 . 就是 又 Δ 0 0 y f x x f x    ( Δ ) ( ) 0 =f x f x ( ) ( ),  即 0 f x f x y ( ) ( )  Δ , Δ 0 可见 y f x f x   0 ( ) ( ) 等价于 ，于是

定义2设函数y=f(x)在点x,的某一领域内有定义，如果 lim f(x)=f(x), 那么就称函数y=f(x)在点x,连续， 说明： 1.f(x)在x点处的极限值等于函数值，就连续。 2.左连续：limf(x)=f(xo)=f(x)月 X->X0 右连续：limf(x)=f(x)=f(x)。 X->X0

0 0 0 ( ) lim ( ) ( ), 定义2 设函数 在点 的某一领域内有定义，如果 x x y f x x f x f x    0 那么就称函数y f x x  ( )在点 连续. 说明： 0 1. f x x ( )在 点处的极限值等于函数值，就连续。 0 0 lim ( ) ( ) ( ), lim ( ) ( ) ( ), - 0 + 0 - 0 + 0 2. 左连续： 右连续： x x x x f x f x f x f x f x f x      

如y=f(x)= x-1,x<0 x+1,x≥0 f(0)=-1,f(0*)=1,f(0)=1, .f(0)≠f(0),f(0)=f(0) 故y=f(x)在x=0处右连续，而不左连续

如 1, 0; ( ) 1, 0. x x y f x x x          x y O 1  1 (0 )  1 ,  f f (0 ) 1,   f (0) 1,  f f (0 ) (0),    (0 ) (0).  f f  故y f x x   ( ) 0 在 处右连续，而不左连续

若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=ao+ax+.+anx1 (有理整函数)》 在(-0，+0)上连续 又如，有理分式函数Rx= P(x) e(x) 在其定义域内连续 只要Q(xo)≠0，都有1imR(x)=R(xo) x→x0

( , ), lim ( ) ( ) 0 0 0 x P x P x x x         若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C [ a , b ]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0 , Q x0  都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x  

例.证明函数y=sinx在(-o,+oo)内连续 证：x∈(-0，+0) △y=sin(x+△x)-sinx=2sin'cos(x+A) 4y=2sin号cos(x+) ≤251=Ax△x→00 即 lim△y=0 △x→0 这说明y=sinx在(-oo,+o)内连续. 同样可证：函数y=cosx在(-o0,+o)内连续

例. 证明函数 在 内连续 . 证: x  (  ,   )  y  sin( x  x)  sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x       x x  0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0

二、函数的间断点 设f(x)在点x。的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一，函数f(x)在点x,不连续： (1)函数f(x)在x无定义， (2)函数f(x)在x,虽有定义，但1imf(x)不存在 x今0 (3)函数f(x)在x虽有定义，且1mf(x)存在，但 limf(x)≠∫(xo） x→X0 这样的点x称为间断点

在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ;