《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-4 函数的单调性与曲线的凸凹性

第四节 第三章 离数的单调性与 曲线的凹马性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点

第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章

一、 函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f)口0 (∫x)口O),则f(x)在I内单调递增（递减） 证：无妨设∫)☐0，x口1，任取，x2口1（口x2) 由拉格朗日中值定理得 (x2)口f(x)口fO(x2·x)口0 00(x,x2)01 故f(x)口f(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕

例1.确定函数f(x)口2x3口9x2☐12x口3的单调区间 解：fCc)☐6.x2▣18x☐12☐6(x☐1)(x□2) 令fCx)口0，得x□1，x☐2 (①，1)11,2)2 (2,0) f() f(x) 故f(x)的单调增区间为 f(x)的单调减区间为

例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为

说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y口/x2,x口（①，口口） 2 3 y4a0 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y□x,x口（①，口口） y3x2 yoo

说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如

单调性可以用来证明不等式，零点个数 例2.试证明当x>1时，有2>3- 证明号虑的数仙-2反一学8，只要证 f(x)>0(x>1)即可 11- 当x>时，f《x)>0,因此在1，+￥]上f(x)单调增加 从而当x>时，f(x)>fI) 由于f1)=0,故f(x)>f1)>0,即 2令8ap29

单调性可以用来证明不等式，零点个数. 例2. 试证明当 时,有 . 考虑函数 ，只要证 即可. ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ 证明

例3. 设常数0，函数f(x)=lnx-+k在(0，+￥)内 零点的个数。 解： 由于9=1.1， 故 x e f4e)=0,f4x)>0,(0e) \f(x)在(0，e上单调增加的，i再由fe)=0 f(x)在e,+￥)上单调减少的加)pf(e取到极大值☐ f(e)=k>0,f(0)=limf(x)=-￥， x®0 f(+￥)=limf(x)=-￥， R+ \f(x)在(0，+￥)内有两个零点d

例3. 设常数 k>0，函数 在 内 零点的个数。 解 : 由于 ，故

二、曲线的凹凸与拐点 定义，设函数f(x)在区间I上连续，口x1,x2口I, ()若恒有/古)0)0fx,) 则称f(x)的 图形是凹的： ②若恒有f西)/)fG）则称f)的 2 图形是凸的 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点

定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸与拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 拐点

定理2.（凹凸判定法）设函数f(x)在区间I上有二阶导数 (1)在I内f)口0，则fx)在1内图形是凹的，○ (2)在1内fx)口0，则fx)在I内图形是凸的.△ 证：☐%，口1，记口口2，利用一阶泰勒公式可得 f(:)口f(O)f(x 2(x 0) f(x)口f(O) f0(x2▣) f(2 21 两式相加 f)☐f)2/O()2fg)0r吗，) 当f)口0时，)/2口f(口)，说明(1)成立， 2 (2 证毕

定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕

例4.判断曲线y口x的凹凸性 解：y0中4x3,yD12x2 当x口0时，y四0：x口0时，y☐□0 故曲线y口x在（①，口O)上是向上凹的.O 说明： 1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下： 若曲线y口f(x)在点x连续，fx,)口0或不存在， 但f☑x)在x。两侧异号，则点(x,f(x)是曲线 y口f(x)的一个拐点

例4. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号

例5.求曲线y口x的拐点 解：x,写x 2/ (，0) (0,) L 不存在 0 凸 因此点(0,0)为曲线y口x的拐点

例5. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸