《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-2 可分离变量微分方程

第二为 第七章 可分离变量微分方程 可分离变量方程 (x)f) dx M(xM(y)dx☐N1(x)N3(y)dy☐0 转化 解分离变量方程g(y)dy口f(x)dx

转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 第七章

分离变量方程的解法： g(y)dy☐f(x)dx ① 设y=口(x)是方程①的解，则有恒等式 g(O(x)□Cx)dx口f(x)dx 两边积分，得 8(y)dy▣f(x)d 设左右两端的原函数分别为Gy),F(x),则有 G(y)口F(x)□C ② 当Gy)与F(x)可微且GPGy)口gy)口0时说明由②确定 的隐函数y=口(x)是①的解，同样，当F四(x)=f(x)≠0 时，由②确定的隐函数x=口(y)也是①的解 称②为方程①的隐式通解

分离变量方程的解法: 设 y＝￾ (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y)与F(x) 可微且 G￾ (y) ￾ g(y) ￾ 0 时, 的隐函数 y＝￾ (x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解. 同样, 当 F￾ (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝￾ (y) 也是①的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由②确定

例1，求微分方程 d ☐3x2y的通解 dx 解：分离变量得 dy □3x2dx 说明：在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分 口x2dx 变形，因此可能增、 减解 得 In yx3 OC 即 令C口0eC1 lny口x3□lnC yCex3 (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0)

例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

xydx口(x2☐1)dy☐0 例2.解初值问题 (0)☐1 解：分离变量得 d yav。dx 10x2 两边积分得ny口ln □lnC 即 y√x2☐1□C(C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 yx2☐101

例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为

例3.求下述微分方程的通解： ysin(x口yO1) 解：令u口x口y□l,则 uD1口yl 故有 1☐sin2u 即 sec-u du☐dx 解得 tanu☐x□C 所求通解： tan(x口y□l)口x□C(C为任意常数)

例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 所求通解 ( C 为任意常数 ) :

练习：求方 d少口exy的通解 dx 解法1分离变量 edy☐e'dv 积分 口ey口e*☐C 即 (e'aC)e'☐1☐0(C<0) 解法2 令u口x口y,则u①1口y 故有 uD1□e9 积分 d u 口x口C du Te 9ee 1☐e4 u☐ln(1☐e)☐x☐C 所求通解：ln(1☐exv)口yaC(C为任意常数)

练习: 解法 1 分离变量 即 ( C < 0 ) 解法 2 故有 积分 所求通解: ( C 为任意常数 ) 积分

内容小结 1.微分方程的概念 微分方程，阶；定解条件；解；通解；特解 说明：通解不一定是方程的全部解 例如，方程(x口y)y☐0有解 y=-x及y=C 后者是通解，但不包含前一个解 2.可分离变量方程的求解方法 分离变量后积分；根据定解条件定常数

内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 阶; 解; 通解; 特解 y = – x 及 y = C

作业 P308 1(1),(5),(7),(10) 2(3),(4)；

作业 P 308 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ;

思考与练习 求下列方程的通解： (1)(x口xy2)dx(x2y回y)dy☐0 (2)y卫sin(x☐y)口sin(x口y) 提示：(1)分离变量 ,ydy口，2d 1▣y (2)方程变形为y☐2 cos xsin y ▣2sinx☐C 2

思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为