《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-1 微分方程的基本概念

第一为 第七章 微分方程的基本桡念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第七章

引例1.一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程 解：设所求曲线方程为y=(x),则有如下关系式： □2x ① dx yxa2 ② 由①得 y□2xdx□x2□C (C为任意常数) 由②得C=1,因此所求曲线方程为y口x2口1

引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程

引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时 获得加速度a口①.4m/s2,求制动后列车的运动规律 解：设列车在制动后1秒行驶了s米，即求s=s() d"s ▣0.4 已知 s0m0， ☐20 由前一式两次积分，可得 s口00.2t2□C1t■C2 利用后两式可得 C1☐20，C2☐0 因此所求运动规律为 s☐☐0.2t2☐201 说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住，以及制动后行驶了多少路程

引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 制动时

微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 如般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y口，ym)■阶微分方程 或y”口f(xyy口，y阶分武微分方程) 3阶微分方程

常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) 微分方程的基本概念 的阶. 分类 如: 1阶微分方程 1阶微分方程 3阶微分方程 ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 或

微分方程的解一 使方程成为恒等式的函数 通解 一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解一不含任意常数的解，其图形称为积分曲线， 定解条件一 确定通解中任意常数的条件， n阶方程的初始条件（或初值条件）： (xo)☐0，y0o)口y4.口，ymu(xo)□y (n☐） 口2x □☐0.4 引例1 dx 引例2 dt xa ☐2 00 020 通解 yxC s▣0.2t■Ct□C2 特解 y 0x2 01 s口0.2t2口201

— 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 引例1 引例2 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线

例1.验证函数x☐C1 coskt■C2 sinkt(C,C2为常数) 是微分方程 d x ☐kx☐0的通解，并求满足初始条件 d3 dx 口0的特解 解 d-x ▣C1k2 coskt☐C3k2 sin kt 口□k2(C1 coskt0C2smkt)☐dkx 这说明x□C1 coskt□C2 sinkt是方程的解 C1,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解， 利用初始条件易得：C1口A,C2口0，故所求特解为 x☐Acoskt

例1. 验证函数 是微分方程 的通解, 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件