《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（讲稿D）7.5 正态总体均值与方差的区间估计

概華论与款程统外 第五节！ 正态总体均值与方差的 区间估计 一、单个总体的情况 二、两个总体的情况

第五节 正态总体均值与方差的 区间估计 一、单个总体的情况 二、两个总体的情况

概车纶与款理统外 一、单个总体N(4,o)的情况 设给定置信水平为1-a,并设X1,X2,.,Xn为 总体N(,σ)的样本，X,S2分别是样本均值和样 本方差 1.均值μ的置信区间 (1)σ2为已知， 4的一个置信水平为1-a的置信区间 ±%n

. ( , ) , , 1 , , , , 2 2 1 2 本方差 总体 的样本 分别是样本均值和样 设给定置信水平为 并设 为 N X S X X Xn   −  一、单个总体 N(, 2 ) 的情况 (1) ,  2为已知 的一个置信水平为1−的置信区间 . / 2          z n X 1. 均值的置信区间

概率伦与款理统外 (2)σ为未知， 的置信水平为1-a的置信区间 (±m- 推导过程如下： 由于区间X±需a中合有未知参数o,不能 直接使用此区间， 但因为S2是σ2的无偏估计，可用S=VS2替换σ

(2) ,  2为未知 , , / 2 直接使用此区间 由于区间 中含有未知参数 不能          z n X , , 2 2 2 但因为 S 是 的无偏估计 可用 S = S 替换 的置信水平为1−的置信区间 ( 1) . / 2        t n − n S X  推导过程如下:

概车纶与款理统外 又根据第六章定理三知 X-业~tn-1), SIn 划-r26,a-以1-a 即r小以-wex-1a 于是得u的置信水平为1-o的置信区间 K±a-

( 1) ( 1) 1 ,  / 2   / 2 = −       − −   + t n − n S t n X n S 即 P X 于是得的置信水平为1− 的置信区间 ( 1) . / 2        t n − n S X  ~ ( 1), / − − t n S n X  又根据第六章定理三知 ( 1) 1 , / ( 1) / 2 / 2     = −        − − − −  t n S n X 则 P t n

概華论与款醒硫外 例1有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重 量（克）如下： 506508499503504510 497512 514505493496506502509496 设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体均值 4的置信水平为0.95的置信区间 解a=0.05,n-1=15, 查t(n-1)分布表可知：t.02s(15)=2.1315, 计算得x=503.75,5=6.2022

解 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重 量(克)如下: 514 505 493 496 506 502 509 496 506 508 499 503 504 510 497 512 设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值  = 0.05, n −1 = 15, 查 t(n −1)分布表可知: t 0.025(15) = 计算得 x = 503.75, s = 6.2022, 的置信水平为0.95的置信区间. 2.1315, 例1

概车纶与款理统外 得u的置信水平为95%的置信区间 /50375±6202×21315） 即(500.4,507.1). √16 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间，这个估计的可信程度为95%. 若依此区间内任一值为的近似值， 其误差不大于6.2022×2.1315×2=6.61（克. 16 这个误差的可信度为95%

得的置信水平为95%的置信区间         2.1315 16 6.2022 503.75 即 (500.4, 507.1). 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%. 2.1315 2 6.61( ). 16 6.2022 其误差不大于   = 克 若依此区间内任一值作为的近似值, 这个误差的可信度为95%

概華伦与款程统外 2.方差σ2的置信区间 根据实标需要只介绍4未知的情况 方差σ2的置信水平为1-a的置信区间 (n-1)S2(n-1)S2 xan2(n-1)'xian2(n-1) 推导过程如下： 因为S2是σ2的无偏估计， 根据第六章第二节定理二知n-)S o21 x2(n-1)

推导过程如下: , 因为S 2 是 2的无偏估计 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   根据第六章第二节定理二知 1 方差 2 的置信水平为 − 的置信区间 . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2         − − − − − n n S n n S     根据实际需要, 只介绍 未知的情况. 2. 方差 2 的置信区间

概事伦与散理统针」 则ria-e"s'ca-小-1a 即pu-1s2 xar(n-1) 1a2(n-1)j 1-a, 于是得方差o2的置信水平为1-的置信区间 (n-)s2,(n-)s2 xz2n-1)'fa2n-0)

1 于是得方差 2 的置信水平为 − 的置信区间 ( 1) 1 , ( 1) ( 1) 2 2 / 2 2 2 1 / 2       = −        − − − −  n n S 则 P n 1 , ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 2 / 2 2       = −       − −   − − − n n S n n S 即 P . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2         − − − − − n n S n n S    

概華论与款程统外 进一步可得： 标准差σ的一个置信水平为1-a的置信区间 √n-1S √n-1S 人Nz2n-0'yxnn-0) 注意：在密度函数不对称时， 如x分布和F分布， 习惯上仍取对称的分位点来 确定置信区间（如图）. Yi-ap(n-1) (n-1)

标准差 的一个置信水平为1− 的置信区间 . ( 1) 1 , ( 1) 1 2 1 / 2 2 / 2         − − − − − n n S n n S     进一步可得: 注意: 在密度函数不对称时, , 如  2 分布和 F分布 习惯上仍取对称的分位点来 确定置信区间(如图)

概车纶与散理统外「 例2（续例1）求例1中总体标准差σ的置信水平为 0.95的置信区间. 解 7=0251-号=095 n-1=15, 查x2(n-1)分布表可知： 2Xd02s(15)=27.488, X695(15)=6.262, 计算得s=6.2022, 代入公式得标准差的置信区间(4.58,9.60)

(续例1) 求例1中总体标准差 的置信水平为 0.95的置信区间. 解 0.975, 1 15, 2 0.025, 1 2 = − = n − =   ( 1) : 查  2 n − 分布表可知 (15) = 2  0.025 计算得 s = 6.2022, (15) = 2  0.975 代入公式得标准差的置信区间 (4.58, 9.60).  27.488, 6.262, 例2