《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（讲稿D）7.3 估计量的评选标准

概率伦与敖理统外 第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性

第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性

根率纶与数理统外「 问题的提出 从第一节的内容可以看到，对于同一个参 数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相 同. 问题 ()对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好？ (2)评价估计量的标准是什么？

问题的提出 从第一节的内容可以看到, 对于同一个参 数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相 同. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么?

概率伦与敖理统外 一、无偏性 若X1,X2L,Xn为总体X的一个样本， q1Q是包含在总体X的分布中的待估参数 (Q是q的取值范围 若估计量q=q(X1,X2,L,Xn)的数学期望 Eq)存在，且对于任意q12有Eq)=q,则称 9是q的无偏估计量. 无偏估计的实际意义：无系统误差

一、无偏性 无偏估计的实际意义: 无系统误差

根率纶与数理统外「 例1设总体X的k阶矩=E(X)(k31)存在， 又设X1,X2,L,X,n是X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布，k阶样本矩A人，=1台X是k n i=1 阶总体矩，的无偏估计. 注：不论总体X服从什么分布，只要存在期望， X总是总体X的数学期望m=E(X)的无偏 估计量

例1 注：不论总体 X 服从什么分布,只要存在期望

概率论与数理统外 例2对于均值m,方差s2>0都存在的总体，若 ms均为未知，则s'的估计量s2=1名(X,-X n i-1 是有偏的（即不是无偏估计）. 注 s=1,&(X-X)2,是s2的无偏估计， n-11

例2 注：

根率纶与数理统外「 例3设总体X的均值m未知，取容量为3的 一组样本X,X2,X,问下列估计量中哪些是 m的无偏估计？ : 1 txx m; -X X+号X.m:02X+04,r0X, 3 X2

例3

概率论与数理统外 二、有效性 比较参数q的两个无偏估计量4，和q2,如果 在样本容量n相同的情况下，9，的观察值在真值 q的附近较q2更密集，则认为q1较q2有效. 由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度，所以无偏估计以方差小者为好： 设g1=41X1,X2L,Yn)与q2=g(X1YL,Xm 都是q的无偏估计量，若有Dg,)￡Dg), 则称q较4有效

二、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好

根率纶与数理统外「 例4设总体X的均值m未知，取容量为3的 一组样本X,X,X,指出下列估计量中 m的最有效的无偏估计. mx,+}x,xmx3x,x X:+号X,m02X-04X-01X 3

例4

概率伦与敖理统外 三、相合性 若q=4(X1,X2,L,Xn)为参数q的估计量， 若对于任意g1Q,当n®￥时，q(X1,X2,L,Xn) 依概率收敛于q,则称q为q的相合估计量. 例如由第六章第二节知，样本k(化31)阶矩是 总体X的k阶矩m,=E(X的相合估计量， 进而若待估参数q=g(,m,L,m,),其中g为连续 函数，则q的矩估计量9=g(m,m,L,m,)=(A1,A2, L,A)是q的相合估计量

三、相合性 例如

根率纶与数理统外「 样本均值灭是总体均值m的相合估计量， 样本方差9点(《)及样本的=n 中心矩B=1a(x,-都是总体方差，的 相合估计量